В дальнейшем простые высказывания обозначаются буквами А, В, С, D, … и называются пропозициональными переменными

Из простых высказываний с помощью логических связок можно создавать более сложные высказывания или формулы.

Содержательно оправдано использование 5^ти логических связок, которые указываются в порядке приоритета:

1° – унарная (одноместная) – отрицание «Ø» (Ø А) (не А);

и бинарные:

2° – конъюнкция «Ù» (А Ù В, А и В);

3° – дизъюнкция «Ú» (А Ú В, А или В);

4° – импликация «Þ» (А Þ В, если А то В);

5° – эквиваленция «Û» (А Û В, А эквивалентно В).

Результаты применения этих операций к высказываниям приведены в следующих таблицах (таблицах истинности):

А	В	Ø А	А Ù В	А Ú В	А Þ В	А Û В

Здесь, и в дальнейшем, для простоты: истина – «1»; ложь – «0».

* Исчислить составное высказывание, т.е. установить истинно оно или ложно при различных значениях пропозициональных переменных можно не только с помощью таблиц истинности, но и с помощью, так называемых, представляющих функций.

Если ввести функцию f на высказываниях такую, что f (истина) = 1; f (ложь) = 0 то:

f (Ø A) = 1 – f (A); f (В Ú А) = f (A) + f (A) – f (A)× f (В);

f (А Ù В) = f (A)× f (В); f (В Þ А) = 1 – f (A) + f (A) + f (A)× f (В),

f (A Û B) = 1 – f (A) – f (B) +2 f (A) f (B).

При этом исчисление высказывания производится с помощью арифметических действий над 0 и 1.

* Дополнительные логические связки:

«|» – антиконъюнкция (штрих Шефера); А | В Û Ø (А Ù В);

«¯» – антидизъюнкция (стрелка Пирса). А ¯ В Û Ø (А Ú В).

* Взаимосвязь логических связок:

Любую логическую связку можно выразить через три основные логические связки Ø, Ù, Ú:

(А Þ В) Û (Ø А Ú В);

(А Û В) Û (А Þ В) Ù (В Þ А) Û (Ø А Ú В) Ù (Ø В Ú А).

Законы де Моргана:

Ø (А Ù В) Û Ø А Ú Ø В;

Ø (А Ú В) Û Ø А Ù Ø В.

*Алгебраические свойства связок:

1° Коммутативны все бинарные связки, кроме импликации;

2° Ассоциативны Ù, Ú; неассоциативны Þ, Û;

3° Транзитивны Þ, Û;

4° Закон отрицания отрицания: Ø Ø А Û А;

5° Принцип тождества: Ø А Ú А Û «и», Ø А Ù А Û «л»;

5° Правила поглощения: А Ú (А Ù В) Û А, А Ù (А Ú В) Û А.