Модель канала с независимыми ошибками

Данная модель разработана для симметричного ДКС без памяти, т.е. для потока независимых ошибок. В этом случае для описания ДКС достаточно знать единственный параметр − р₀ − вероятность появления ошибки на е.э.

Пусть как и ранее вероятность ошибочного приема е.э. равна р₀, тогда вероятность правильного приема этого е.э. равна 1− р₀.

Правильный прием всей КК из “n” е.э. возможен, если все “n” элементов приняты без ошибок. Согласно теореме о совместимых и независимых событиях эта вероятность равна произведению вероятностей каждого события, т.е. − (1−р₀)ⁿ.

Тогда вероятность приема КК длиной “n”:

P( 1,n) = 1−(1−p₀)ⁿ (2.32)

Применим формулу бинома Ньютона:

где − число сочетаний;

обозначим:

; ; тогда (а + b)ⁿ = 1 (в наших обозначениях) и или .

левая часть есть Р( 1;n), поэтому получим:

(2.33)

− это вероятность ошибочного приема КК длинной “n”,хотя бы с одной ошибкой.

Слагаемые (2.33) означают вероятность появления ошибок кратности точно “ℓ” в КК длинной “n”, т.е.:

(2.34)

..................

Вероятность появления ошибок кратности ℓ и выше определяется выражением:

(2.35)

Получим приближенную формулу для модели:

P( 1,n) = 1−(1−p₀)ⁿ (2.36)

Для разложения (1−p₀)ⁿ используем бином Ньютона:

(2.37)

Учтем, что а = 1 и b = р₀. Поскольку р₀<< 1, поэтому слагаемыми 2 порядка и выше можно пренебречь. Получим:

(1−p₀)ⁿ = 1 − n p₀ (2.38)

Окончательно получаем:

Р ( (2.39)

Широко используется и кроме того является основой для построения других более сложных моделей, лучше отражающих статистические характеристики реальных ДК.