Анализ полученных решений

Формулы (4.12)…(4.14) однотипны и могут быть описаны одним уравнением

. (4.18)

При имеем расчет напряжений на поверхности и в центре,

а при — перепада температур. После определения максимальных времен можно найти соответствующие температуры при этих числах Фурье с учетом двух членов ряда.

Подставляя в уравнение (4.6), получим температуру поверхности

, (4.19)

в (4.7) — температуру центра

, (4.20)

в соотношение (4.8) — среднемассовую

, (4.21)

и в (4.11) перепад температур

. (4.22)

Наибольшую и основную трудность при практических расчётах по уравнениям (4.2)…(4.22) представляет определение по соотношению (4.9) бесчисленного множества корней. В работе [6] приведена общая формула для расчета первого корня для тел простой формы

, (4.23)

где ;

-коэффициент термической массивности;

; ;

— коэффициент геометрической формы, равный 1 _­ – для пластины, 2 _­ – цилиндра и 3 _­ – шара.

Для определения приближенных значений остальных корней следует различать два характерных случая нагрева – при больших и малых числах Био [3].

При малых числах Био (Bi < 3)

, (4.24)

где ; ; ; ;

При больших числах Био ()

, (4.25)

где ; ; — см. уравнение (4.23); ; .

При выводе (4.25) было учтено, что при малых аргументах .

В двух предельных случаях — малые и большие числа Био, полученные решения значительно упрощаются. Предварительно упростим расчет тепловой амплитуды . Используя тригонометрическое тождество и характеристическое уравнение (4.8), можно записать

, (4.26)

где — n -ный коэффициент термической массивности. С учетом последнего выражения тепловая амплитуда, входящая в уравнение (4.7) определения температуры центра пластины станет

. (4.27)

Теперь получим упрощенные выражения для других амплитуд в двух предельных случаях.

4.1.1. Асимптотика при малых числах Био

Первый корень уравнения (4.9) вычисляем по соотношению (4.23) при и , а второй — по (4.24). Тогда отношение собственных чисел или коэффициентов термической массивности

, (4.28)

где .

Разность квадратов корней .

Первая амплитуда, входящая в уравнение (4.6) температуры поверхности

. (4.29)

По аналогии вторая и

. (4.30)

Амплитуда согласно уравнению (4.27) и с учетом того, что при малых аргументах :

. (4.31)

Амплитуда .

Для среднемассовой температуры:

и . (4.32)

Для перепада температур по уравнению (4.11)

(4.33)

.

Для термических напряжений в центре пластины по (4.4)

(4.34)

Для термонапряжений на поверхности

(4.35)

С целью проверки амплитуды можно использовать равенство .

Выражения для расчета максимальных времен по уравнению (4.18) также упростятся.

Коэффициент поверхности

,

для перепада температур

(4.36)

и центра

.

Анализ уравнений (4.18) и (4.36) позволяет сделать вывод о том, что максимум величин наступает в последовательности и с ростом числа Био эти времена уменьшаются.

Для оценки различия максимальных времен составим их разности:

(4.37)

и

Из (4.37) следует, что с ростом числа Био различия максимальных времен увеличиваются, вплоть до – см. уравнение (4.45).

На практике технологов интересует вопрос — насколько термические напряжения на поверхности тела больше, чем в его середине. Обозначим их отношение . Наиболее просто можно найти в стадии регулярного режима нагрева (РРН), который наступает при числах Фурье и когда вместо бесконечных сумм в уравнениях (4.3)…(4.11) можно ограничиться одним членом ряда. Тогда, деля уравнение (4.3) на (4.4) и учитывая упрощенные соотношения (4.34) и (4.35), получим

(4.38)

4.1.2. Асимптотика при больших числах Био

Теперь корни находим по уравнению (4.25). Тогда отношение

. (4.39)

Разность квадратов корней

, (4.40)

где ; .

Амплитуды:

; ,

где ; .

; ,

где и — амплитуды при .

; где ; .

; ;

; .

; ; ; .

_{; ; ; .}

Теперь коэффициенты для расчета максимальных времен примут вид:

; (4.41)

; (4.42)

; (4.43)

В предельном случае при :

; ;

. (4.44)

Так как лишено физического смысла, следует взять .

Тогда наименьшие максимальные времена согласно (4.18) при будут:

, ,

. (4.45)

Подставляя (4.45) в уравнение (4.4), получим максимально возможное термическое напряжение в центре пластины

. (4.46)

Термонапряжение на поверхности при времени

перепад температур

=

и отношение напряжений в этот момент времени

.

Последнее несколько больше, чем отношение , которое получено для стадии РРН с учетом первого члена ряда.

Следует отметить, что если приближенно считать , то из уравнения (4.10) будем иметь (4.47)

и это соотношение полностью совпадает с формулой Н.Ю. Тайца [7]

. (4.48)

Из анализа уравнения (4.41) вытекает, что коэффициент меняет знак по причине изменения знака амплитуды , изменяющейся от при малых числах Био до . Из условия равенства нулю можно получить граничное число выше которого имеем случаи нагрева термически «массивного» тела. Таким образом, при числах для определения времени можно применять формулу (4.12) в которой определяется по уравнению (4.41), а при коэффициент становится отрицательным и нельзя пользоваться формулой (4.12).

Возникшую ситуацию можно объяснить следующим образом. Формулы (4.12)…(4.22) получены с учетом всего двух членов ряда. С ростом числа Био максимальное время уменьшается, вплоть до 0 при .

При очень малых числах Фурье расчёт температур по уравнениям (4.3)…(4.11) затруднителен из-за необходимости учета большого количества членов ряда, ввиду его плохой сходимости. В этом случае для расчёта поверхностной и среднемассовой темпе­ратур можно использовать формулы, полученные методом операционного исчисления в работе [20] (см. уравнения (3.25)…(3.27))

С учетом сказанного уравнение (4.3) для расчета термических напряжений на поверхности примет вид

(4.49)

где .

Вместо уравнения (4.6) будет (3.25), а вместо (4.8) — (3.27). Температуру в центре тела на начальной стадии нагрева () приближенно можно принять .

Дифференцируя уравнение (4.49) по времени и приравнивая производную нулю, получим при малых ()

, (4.50)

и больших аргументах ()

, . (4.51)

Таким образом, при больших числах Био () расчет времени вместо (4.12) следует производить по уравнению (4.50) или (4.51).

Расчет по (4.13) с учетом (4.42) даст

. (4.52)

Иногда требуется определить расположение координаты нейтрального слоя в котором термические напряжения меняют знак с на , т.е. в этой точке равны нулю. Наиболее просто это можно сделать в стадии РРН. Тогда согласно уравнению (4.2) или .

Разрешая последнее выражение относительно , получим

, (4.53)

где .

При малых числах Био . Тогда с учетом тригонометрического тождества и разложения в ряд , будем иметь

. (4.54)

При больших числах Био

и . (4.55)

В предельном случае при , . Таким образом, поскольку нейтральные слои расположены несколько ближе к поверхности, а само колеблется в узких пределах — от 0,56 до 0,58.

Следует отметить, что при нагреве абсолютные, т.е. размерные термические напряжения поменяют знаки за счет отрицательности из-за .

В заключение укажем, что все полученные решения описывают как процесс конвективного нагрева плоских тел, так и их охлаждение.