Модель фон Неймана

Хай задано дві прямокутні матриці А і В однакових розмірів (m рядків і n стовпців з ненегативними елементами).

Хай m – кількість вироблюваних продуктів;

n – кількість технологічних способів, що проводять продукти;

I - вид продукту; I =1, 2, 3...m;

J – вид виробничого способу; J =1, 2, 3...n;

Матриця витрат:

В технологічному способі з номером , що використовується з одиничною інтенсивністю, затрачуються m продуктів в кількостях так що стовпець матриці А з номером j характеризує витрати продуктів в способі j

Матриця випуску:

Стовпець з номером j матриці В характеризує кількість , тих же продуктів, які випускаються (проводяться) при використовуванні способу j з одиничною інтенсивністю (наступного року). І даний вектор , компоненти його і називаються інтенсивностями, з якими використовуються технологічні способи; - вектор інтенсивностей.

Якщо компоненту вектора рівна нулю, то говорять, що спосіб j не використовується.

Величина , є кількість продукту I, яке витрачається (затрачується) при вибраних інтенсивностях використовування технологічних способів.

- кількість продукту I, яке проводиться (випускається) при вибраних інтенсивностях.

Вибір вектора визначає витрати і випуск продуктів, тобто деякий технологічний процес.

Тут

.

Хай Д – прямокутна матриця з ненегативними елементами. Розглядатимемо матриці, що володіють тією або іншою властивістю:

Властивість 1. Якщо і , то ;

Властивість 2. Існує , такий, що .

Говорять, що пара матриць (А,В) визначає модель Неймана, якщо А володіє властивістю 1 і В володіє властивістю 2.

При прийнятій нами економічній термінології це означає:

1. Якщо жоден продукт не витрачається (), то жоден спосіб не використовується (); звідси негайно витікає, що жоден продукт не випускається ().

2. Всякий продукт можна провести ().

Наступні два твердження дозволяють інакше сформулювати ці властивості.

Твердження 1. Для того, щоб невід‘ємна матриця Д володіла властивістю 1, необхідно і достатньо, щоб в матриці не було нульових стовпців, тобто для кожного j=1, 2,..., n має місце ; або min при 1<j n;

Твердження 2. Для того, щоб невід‘ємна матриця Д задовольняла властивості 2, необхідно і достатньо, щоб в матриці не було нульових рядків, тобто для кожного i=1, 2,..., m мало місце нерівність . З тверджень 1 і 2 можна отримати взаємозв'язок між властивостями 1 і 2.

Твердження 3. Якщо для деякої матриці Д має місце властивість 1, то для транспонованої матриці Д* має місце властивість 2. Якщо для Д справедливо властивість 2, то для Д* справедливо властивість 1.

Хай , є відношення випуску продукції i до витрат цього ж продукту в технологічному процесі, визначуваному вибором вектора .

називається темпом зростання продукту i в даному процесі.

для 1<i m назвемо темпом зростання при даній інтенсивності x.

Тепер очевидно, що при x 0; 1<i m, тобто в кожному процесі (для кожного ) вибирається продукт з якнайменшим темпом зростання, і він оголошується темпом зростання в даному процесі при 1<i m, потім серед всіх процесів відшукується той, в якому темп зростання максимальний: при x 0. Цей максимальний темп зростання називається технологічним темпом зростання.

Позначимо символом X вектор, на якому досягається технологічний темп зростання.

Можна сказати, що в моделі Неймана відшукується максимальний технологічний темп зростання і структура використовування способів виробництва, що здійснює цей максимальний темп зростання. Деякий продукт може не проводитися і не використовуватися.

В моделі Неймана технологічний темп зростання кінцевий і позитивний, тобто .

Випадок, коли матриці А і В квадратні (m=n), і В – одинична матриця, є окремим випадком моделі Неймана.

Аналогічно, запишемо деяку величину

;

де оцінка i - го продукту;

- вартість витрат в j – способі;

- вартість випуску j - го продукту;

- відношення вартості випуску до вартості витрат в j способі;

Величина називається темпом зростання вартості найефективнішого способу;

Величина називається економічним темпом зростання.

Вектор цін такий, на якому здійснюється економічний темп зростання.

При цьому , тобто економічний темп зростання менше або рівно технологічному темпу зростання.