Модель «витрати - випуск» Леонтьєва. Замкнуті моделі

Розглянемо просту лінійну модель виробництва з фіксованими коефіцієнтами, що містить декілька виробничих (технологічних) процесів, кожен з яких проводить тільки один продукт.

Введемо позначення:

j – вид вироблюваного продукту; ;

i – вид продукту, що витрачається; ;

aij – фіксована кількість i- огопродукту, що витрачається на виробництво одиниці j-ого продукту;

Оскільки коефіцієнти aij фіксовані, то не існує взаємозамінюваності між продуктами, що витрачаються.

Так для виробництва j-ого продукту в об'ємі хj буде потрібно aijxj i-ого продукту і akjxj к-ого продукту. Відмітимо, що в цій моделі деякі з продуктів, що витрачаються, є випусками виробничих процесів цієї ж системи.

Така модель називається моделлю «витрати - випуск». Коефіцієнти aij – коефіцієнтами витрат, а матриця - матрицею витрат.

У моделі безліч витрат співпадає з безліччю випусків. Тому матриця, складена з коефіцієнтів витрат, – квадратна. Очевидно, що коефіцієнти витрат невід‘ємні. Крім того, випуск кожного продукту вимагає витрат, принаймні, одного продукту і витрати кожного продукту обумовлюють випуск, принаймні, одного продукту. Матриця А є позитивною, тобто такий, що помножена на позитивний вектор, вона дає позитивний вектор.

Модель «витрати - випуск» зазвичай називають моделлю Леонтьєва. Леонтьєв своїми роботами по аналізу американської економіки вперше привернув увагу до моделей такого роду.

Якщо безліч продуктів, які хоч раз випускалися, співпадає з безліччю продуктів, які хоч раз використовувалися в технологічних операціях, і якщо не існує джерела витрат, окрім поточної продукції, а продукція, що випускається, використовується тільки як витрати технологічних процесів, то така модель називається замкненою.

Діагональні елементи a_ii матриці вимагають особливого розгляду, коефіцієнтом a_ii є кількість i -огопродукту на виробництво одиниці цього ж продукту.

Наприклад, при виробництві електроенергії необхідно використовувати ту ж електроенергію для запуску генератора, подачі палива і так далі Якщо відняти використану таким чином енергію зі всієї проведеної, отримаємо чистий випуск електроенергії.

Нехай - вектор випуску системи. Набір компонент вектора характеризує обсяг выпускаємих продуктів. Тоді визначає кількість i – ого продукту, необхідного при виробництві цього набору. Таким чином, є вектор витрат. Оскільки в замкнутій моделі вектор випуску є єдиним джерелом витрат, система не може функціонувати і проводити , якщо не виконується нерівність . Виробничі процеси незворотні, тому - невід‘ємний вектор.

Називатимемо модель продуктивною, якщо існує деякий вектор, такий, що:

; ;

Вирішення цієї системи нерівностей, якщо воно існує, називається продуктивним рішенням.

Виділимо з числа продуктивних рішень таке, яке називатимемося рівноважним. Найсильніший тип рівноваги – внутрішня рівновага. Воно визначається співвідношеннями:

; ` ;

Вектор, що задовольняє співвідношенням, називається рівноважним.

При внутрішній рівновазі кожен продукт проводиться, причому випуск продукту в точності рівний попиту на нього.

Якщо - ціна i – ого продукту, то - вартість i – ого продукту, витраченого на випуск одиниці j, – ого продукту, а - сумарні витрати на випуск одиниці j – ого продукту. Іншими словами є витратами виробництва на випуск одиниці j – ого продукту.

Прибуток від випуску одиниці продукту j – ой галузі рівна .

Сформулюємо правила:

1. Якщо існує ненегативний вектор цін, що дає втрати у всіх галузях, то модель непродуктивна.

2. Якщо існує ненегативний вектор, що дає прибуток у всіх галузях, то модель продуктивна.