Тема 8. Розрахунок електричних кіл змінного струму

Застосовуючи другий закон Кірхгофа до кола, показаного на рис. 8.1, дістаємо

, (8.1)

де – напруга на конденсаторі в момент часу , тобто в момент вмикання даного кола в напругу .

Формула (8.1) є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами. Загальний розв’язок складається з частинного (поодинокого) розв’язку , який визначається виглядом функції і повного інтеграла однорідного диференціального рівняння, яке дістають з (8.1), поклавши, що .

Рис.8.1

Розв’язавши рівняння (8.1), можна визначити струм і спад напруги на ділянках кола для будь-якого режиму роботи кола при зміні прикладеної напруги згідно з будь-яким законом. А оскільки ми розглядаємо сталий режим у колі з послідовним з’єднанням де спільним для всіх елементів є струм , то розв’язання задачі можна значно полегшити.

Вважатимемо, що в колі протікає синусоїдний струм

. (8.2)

Потрібно знайти напругу на затискачах кола. Як встановлено раніше, напруга також буде синусоїдною такої самої частоти, необхідно лише визначити її амплітуду і початкову фазу .

Підставивши (8.2) у (8.1) і вважаючи, що конденсатор до вмикання кола не був заряджений (тобто , дістаємо

(8.3)

Величина

є реактивним опором даного кола. Якщо x > 0, коло має індуктивний характер, якщо x < 0 – ємнісний.

Рівняння (8.3) можна записати у вигляді

(8.4)

Побудуємо часову та векторну діаграми струму і напруги (рис. 8.2).

Рис.8.2

Амплітуду прикладеної напруги визначимо за векторною діаграмою

(рис. 8.2,б) Вектор дорівнює сумі векторів (рис. 8.3). До кінця вектора прикладено початок вектора , а до кінця – початок вектора . Сумарний (результуючий) вектор дістанемо з’єднанням початку вектора з кінцем вектора . Тут же дістанемо початкову фазу напруги і кут зсуву фаз між струмом і напругою

.

Із прямокутного трикутника (рис. 8. 3) достаємо , або поділивши це рівняння , матимемо співвідношення для діючих значень напруги:

(8.5)

Зазначимо, що в колах синусоїдного струму при послідовному з’єднанні активного та реактивного опорів для діючих (або амплітудних) зна-чень спаду напруги загальний спад напруги не можна записати як алгебраїчну суму діючих (або амплітудних) значень спаду напруги на окре-мих елементах кола . Такий запис є грубою помилкою.

Загальний спад напруги визначають за рівнянням (8.5). Рівняння (8.5) перепишемо так:

Рис.8.3

. (8.6)

Величина є повним опором досліджуваного кола, який позначають :

. (8.7)

Із цього самого трикутника (див. рис. 8.3) визначимо кут зсуву фаз між струмом і напругою:

; (8.8)

. (8.9)

Початкова фаза прикладенної до затискачів кола напруги

. (8.10­)

Отже, ми визначили діюче значення прикладеної до кола напруги (8.5) і її початкову фазу (8.10). Поділивши трикутник напруг (див. рис. 8.3) на струм , дістанемо трикутник опорів (рис. 8.4), з якого визначаємо

; ;(8.11)

; . (8.12)

Рис.8.4

Якщо задано напругу на затискачах кола , то сила струму

. (8.13)

У цьому разі, якщо >0, то струм відстає за фазою від напруги (коло має індуктивний характер), якщо < 0, то струм випереджає за фазою напругу (коло має ємнісний характер). Кут визначають за (8.9).

Якщо , то струм і напруга збігаються за фазою. Такий режим роботи кола з послідовним з’єднанням називають резонансом напруги (розглянемо його далі).

Часто прикладену до затискачів кола з послідовним напругу зручно подати у вигляді двох складових:

активної

, (8.14)

що збігається за напрямом з вектором струму ,

і реактивної

, (8.15)

розміщеної під кутом 90⁰ до струму .

При введенні активної та реактивної складових напруги можна від векторних діаграм перейти до трикутника напруг. На рис. 8.5,а показано трикутник напруг при індуктивному навантаженні, а на рис. 8.5,б – при ємнісному. Базисним вважають вектор струму.

Рис.8.5

Поділивши сторону кожного трикутника на , дістанемо трикутник опорів (рис. 8.6):

; ; . (8.16)

Приклад 1. Коло з послідовним з’єднанням і ввімкнено до синусоїдної напруги (рис. 8.7). Визначити струм , побудувати часову та векторну діаграми.

Рис.8.6

Розв’язання. Визначимо струм:

,

Рис.8.7

де ; ; ; .

Залежно від співвідношення опорів і кут може набувати значень . Струм за фазою відстає від напруги.Часову та векторну діаграми показано на рис. 8.8.

Рис.8.8

Приклад 2 Визначити струм і побудувати векторну діаграму для кола, зображеного на рис. 8.11. Задано та усіх елементів.

Розв’язання. 1.Опори реактивних елементів ; ;

; ; .