![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Исследуем свойства узкополосных случайных сигналов, у которых спектральная плотность мощности имеет резко выраженный максимум вблизи некоторой частоты , отличной от нуля. Определим функцию корреляции узкополосного случайного процесса.
Рассмотрим стационарный случайный процесс x(t), односторонний спектр мощности которого концентрируется в окрестности некоторой частоты
>0. По теореме Винера-Хинчина функция корреляции данного процесса
(7.4)
Мысленно сместим спектр процесса из окрестности частоты в окрестность нулевой частоты, выполнив замену переменной
. Тогда формула (7.4) приобретает вид:
(7.5)
В соответствии с исходным предположением об узкополосности процесса X(t) его спектр мощности исчезающе мал на частотах, близких к нулю. Поэтому в выражении (7.5) можно заменить нижний предел интегрирования на
, не внося ощутимой погрешности, и записать функцию корреляции в виде
(7.6)
Особенно простой функция корреляции узкополосного процесса получается в случае, когда спектр мощности симметричен относительно центральной частоты
. При этом
, так что
(7.7)
Здесь коэффициент играет роль огибающей, которая изменяется медленно по сравнению с множителем
. Часто бывает удобным ввести нормированную огибающую
функции корреляции узкополосного случайного процесса, определив её с помощью равенства
.
Тогда (7.8)
Характерный вид функции корреляции (7.8) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания:
, (7.9)
у которых как огибающая U(t), так и начальная фаза являются случайными функциями, медленно (в масштабе
) изменяющимися во времени.
Представим реализацию (7.9) как сумму синфазной и квадратурной составляющих.
(7.10)
Предположение о медленности синфазной A(t) и квадратурной B(t) амплитуд позволяет весьма просто записать выражение для реализации сопряжённого процесса, вынеся медленные множители за знак преобразования Гильберта:
(7.11)
Отсюда получаем формулы для мгновенных значений реализации огибающей
(7.12)
и начальной фазы
(7.13)
Часто на практике ставится задача нахождения совместной плотности вероятности огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса. При этом особенно удобно воспользоваться методом, основанном на переходе от узкополосного случайного процесса к его синфазной и квадратурной составляющим. Благодаря этому методу мы можем вычислить двумерную плотность вероятности . Эта характеристика позволяет найти одномерную плотность вероятности огибающей:
(7.14)
И плотность вероятности начальной фазы
(7.15)
Мгновенные значения амплитуды A(t) и B(t) образуют двумерный гауссов вектор, обе составляющие которого независимы и имеют одинаковые дисперсии . Поэтому двумерная плотность вероятности.
(7.16)
Теперь, чтобы получить искомую плотность вероятности следует выполнить функциональное преобразование, переводящее случайный вектор {A,B} в новую случайную совокупность
,
(7.17)
Якобиан такого преобразования
(7.18)
Поскольку в новых переменных , искомая двумерная плотность вероятности:
(7.19)
Теперь, используя формулы (7.15) и (7.19) можем найти плотность вероятности начальной фазы:
Введём замену переменной
Тогда:
(7.20)
Таким образом, начальная фаза узкополосного случайного процесса распределена равномерно на отрезке
На основании формул (7.14) и (7.19) определим одномерную плотность вероятности огибающей
(7.21)
Здесь так же целесообразно перейти к безразмерной переменной , относительно которой
. (7.22)
Плотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выражением (7.21), (7.22) известна под названием закона Рэлея. Соответствующий график показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка ) значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень
узкополосного процесса.
Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (7.22) находим среднее значение огибающей и её дисперсию:
(7.23)
(7.24)
Располагая одномерной плотностью вероятности огибающей, можно решить ряд задач теории узкополосных случайных процессов, в частности, найти вероятность превышения огибающей некоторого заданного уровня.
Случайные величины, распределенные по закону Рэлея, встречаются во многих задачах. Исследуем огибающую суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума. Часто бывает необходимо определить статистические свойства сигнала, наблюдаемого на выходе некоторого частотно-избирательного устройства, например, резонансного усилителя.
Будем считать, что помимо флуктуационного гауссова шума с центральной частотой , равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует также детерминированный гармонический сигнал
с известной амплитудой
.
Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. Считая, что полезный сигнал , в то время как шум
, запишем выражение реализации суммарного процесса X(t)
. Данный случайный процесс узкополосен, поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающей U(t) и начальной фазы
:
. Очевидно, между парами
имеется связь:
(7.25)
Легко проверить, что якобиан D этого преобразования равен U. Тогда, поскольку двумерная плотность вероятности:
В новых переменных имеем.
(7.26)
Теперь чтобы получить одномерную плотность вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы (7.26) по угловой координате в результате чего находим:
(7.27)
Данная формула выражает закон, получивший название закона Райса. Отметим, что при , т.е. в отсутствие детерминированного сигнала, закон Райса переходит в закон Рэлея.
На рисунке представлены графики плотности вероятности случайной величины, распределённой по закону Райса при различных отношениях
Отметим, что если амплитуда детерминированного сигнала значительно превышает среднеквадратический уровень шума, т.е.
>>1 то при
можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя с большим аргументом:
Подставив это выражение в (7.27), имеем
(7.28)
Т.е. огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае приближённо нормально с дисперсией и математическим ожиданием
. Практически считают, что уже при
огибающая результирующего сигнала нормализуется.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 819 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!