Ортогональные сигналы. Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье

Ортогональные сигналы. Введём понятие скалярного произведения элементов линейного пространства. Скалярное произведение вещественных сигналов и :

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. , где - вещественное число

4.

5. - справедливо неравенство Коши-Буняковского.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, содержащее в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства называется вещественным Гильбертовым пространством H.

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное Гильбертово пространство.

Если сигналы комплексные, то скалярное произведение:

Два сигнала и называют ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

.

Ортонормированный базис.Обобщенный ряд Фурье. Предположим, что на отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

1, если

0, если

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал в ряд:

(1.1)

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером , умножим на неё обе части равенства (1.1) и затем проинтегрируем результаты по времени:

(1.2)

Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.2) останется только член суммы с номером , поэтому:

(1.3)

Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме окажутся отличными от нуля только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат, который называется равенством Парсеваля:

(1.4)

Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.