Распределения непрерывных случайных величин

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин, имеющих равномерное, показательное, нормальное и гамма-распределение.

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на участке от до , если ее плотность распределения на этом участке постоянна:

(4.24)

В дальнейшем для непрерывных случайных величин выражение для плотности записывается только для тех участков, где она отлична от нуля:

.

Рис. 4.19. Кривая равномерного распределения

mX

Значения в крайних точках и промежутка не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек равна нулю. Кривая распределения приведена на рис. 4.19. Иногда это распределение называют прямоугольным. Математическое ожидание случайной величины равно середине участка :

.

Этот же результат можно получить, вычисляя интеграл вида

.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:

;

.

Моды равномерное распределение не имеет. Медиана равна математическому ожиданию, так как равномерное распределение симметрично относительно математического ожидания. Из этого же свойства следует, что третий центральный момент тоже равен нулю ().

Для определения эксцесса вычислим четвертый центральный момент:

.

Таким образом, эксцесс случайной величины равен

.

Рис. 4.20. Вероятность попадания на участок

Рис. 4.21. Функция распределения

Следовало ожидать, что эксцесс этой случайной величины будет отрицательным.

Вычислить вероятность попадания случайной величины на любую часть участка можно путем геометрических представлений (см. рис. 4.20):

.

Функция распределения является функцией, линейно взрастающей от нуля до единицы, при изменении аргумента от до . При любом функция распределения равна площади, ограниченной кривой распределения и лежащей левее точки (см. рис. 4.20).

.

Моделью равномерного распределения является гармоническое колебание со случайной начальной фазой

,

где – частота, а начальная фаза является непрерывной случайной величиной с равномерным законом распределения:

.

Показательное распределение

Непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность распределения имеет вид

,

или

, (4.25)

где – единственный параметр распределения.

Функция распределения:

. (4.26)

Рис. 4.22. Плотность распределения

Рис. 4.23. Функция распределения

Математическое ожидание показательного распределения:

. (4.27)

При интегрировании по частям необходимо учесть, что при стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень .

Выражение (4.27) показывает, что математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение, обратно его параметру . При этом параметр имеет размерность, обратную размерности случайной величины .

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение:

, . (4.28)

Среднее квадратичное отклонение случайной величины , распределенной по показательному закону, равно ее математическому ожиданию.

Третий центральный момент:

,

и соответственно коэффициент асимметрии

.

Следовало ожидать, что асимметрия показательного распределения будет положительной.

Показательное распределение связано с простейшим потоком событий. Покажем, что интервал времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока, т. е.

.

Для этого найдем функцию распределения случайной величины – интервала времени между соседними событиями в потоке:

.

t

Рис. 4.24. Случайная величина Т

На оси времени отметим интервал между соседними событиями потока (см. рис. 4.24). Чтобы выполнялось неравенство , необходимо, чтобы хотя бы одно событие потока попало на участок длины . Вероятность того, что это так,

,

где вероятность для пуассоновского потока равна ,

откуда функция распределения будет иметь вид

,

после дифференцирования которой получаем искомую плотность распределения

.

Показательное распределение широко используется в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности.

Нормальное распределение

Случайная величина распределена по нормальному (гауссовому) закону с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид

. (4.29)

m

Рис. 4.25. Кривая нормального распределения

Кривая нормального распределения (см. рис. 4.25) имеет симметричный холмообразный вид. Максимальное значение кривой, равное , достигается при , т. е. мода .

Вычислим основные характеристики случайной величины , распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание

.

Сделаем замену переменной интегрирования

(4.30)

и получим

.

Первый из интегралов равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции; второй – это известный интеграл Эйлера – Пуассона

.

Таким образом, математическое ожидание нормального распределения

(4.31)

совпадает с параметром распределения . Иногда называют центром рассеивания случайной величины .

Дисперсия гауссовой случайной величины

.

Используя замену переменной (4.30), получаем

.

Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю, так как при быстрее, чем возрастает . Второе слагаемое равно .

Таким образом, дисперсия

. (4.32)

Значит, параметр распределения есть не что иное, как среднее квадратичное отклонение гауссовой случайной величины :

.

Размерности и совпадают с размерностью случайной величины .

Положение кривой распределения и ее форма полностью определяются параметрами и .

Вычислим моменты нормальной случайной величины . Так, -й центральный момент будет

.

После замены переменой (4.30) получаем

. (4.33)

Естественно, что при любом нечетном , как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Для четных :

.

Первый член в фигурных скобках равен нулю, и поэтому получаем

. (4.34)

Подставим в формулу (4.33) вместо :

. (4.35)

Сравнение выражений (4.35) и (4.34) показывает, что эти формулы различаются только множителем . Следовательно,

.

Получено простое рекуррентное соотношение, позволяющее выражать центральные моменты более высоких порядков через центральные моменты более низких порядков. Если учесть, что для любой случайной величины , то получаем ; ; .

Эксцесс нормального распределения равен нулю:

.

Вероятность попадания случайной величины на участок от до определятся следующим образом:

, (4.36)

где – функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения гауссовой случайной величины от своего математического ожидания окажется меньше любого , равна

. (4.37)

Если в выражении (4.36) положить , и учесть, что , то получаем функцию распределения нормальной случайной величины в виде

. (4.38)

Модель нормального распределения. Складывается большое количество независимых случайных величин

Рис. 4.26. Функция распределения нормальной случайной величины

x

m

,

при этом предполагается, что каждая из сравнима по степени своего влияния на рассеивание суммарной случайной величины . Закон распределения суммы этих случайных величин (случайной величины ) будет тем ближе к нормальному, чем больше число слагаемых , вне зависимости от того, какие законы распределения имеют отдельные величины . Таково содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Гамма-распределение и распределение Эрланга

Неотрицательная случайная величина имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения выражается формулой

, (4.39)

где – параметры распределения; – гамма-функция

, (4.40)

которая обладает следующими свойствами:

. (4.41)

Для целых неотрицательных получаем

.

Математическое ожидание случайной величины , подчиняющейся гамма-распределению,

.

Учитывая свойства (4.41), окончательно получаем

. (4.42)

Второй начальный момент находим по формуле

,

откуда дисперсия

. (4.43)

При гамма-распределение превращается в показательное с параметром , так как

.

При целых и бóльших единицы гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k -го порядка:

. (4.44)

Закон распределения Эрланга k -го порядка тесно связан со стационарным пуассоновским потоком с интенсивностью .

Модель распределения Эрланга k -го порядка. Складывается независимых случайных величин , каждая из которых подчиняется показательному закону с одним и тем же параметром . В этом случае суммарная случайная величина имеет распределение Эрланга k -го порядка.