Характеристическая функция

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую функцию и доказать ее свойства.

Метод линеаризации функций случайных величин

В некоторых частных случаях числовые характеристики функций случайных величин можно найти, используя только числовые характеристики аргументов таких функций. Особенно простые соотношения существуют между числовыми характеристиками функций и числовыми характеристиками аргументов, если функции линейны. Во многих практических применениях нелинейные зависимости в определенном диапазоне заменяются линейными.

Линеаризацией функции называется приближенная замена нелинейной функции линейной, что позволяет достаточно просто находить числовые характеристики функций случайных величин.

Рассмотрим задачу линеаризации функции одного случайного аргумента

,

где и – непрерывные случайные величины.

Считая, что некоторая функция дифференцируема, разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки :

.

Линеаризация есть приближенное представление функции случайной величины первыми двумя членами ряда Тейлора; при этом разложение проводится в окрестности точки математического ожидания . Это приближение тем точнее, чем меньше диапазон возможных значений случайного аргумента.

Таким образом, при приближенной замене нелинейной функции линейной получаем

.

Необходимо отметить, что при выводе формулы совершен переход от неслучайного аргумента к случайному, что, строго говоря, можно делать с оговорками, так как дифференцировать по случайной величине в общем случае нельзя.

Геометрическая интерпретация метода линеаризации сводится к замене участка кривой для диапазона отрезком касательной – линеаризованной функцией , проходящей через точку с абсциссой и ординатой (см. рис. 6.4).

Если такая замена удовлетворяет по точности, то для линеаризованной зависимости между случайными величинами и можно найти числовые характеристики :

;

;

.

Рис. 6.4. Линеаризации функции случайной величины

K

y

x

Получили, что математическое ожидание линеаризованной функции приблизительно равно функции от математического ожидания аргумента, а ее дисперсия – дисперсии аргумента, умноженной на квадрат производной функции в точке, соответствующей математическому ожиданию аргумента.

Заметим, что плотность непрерывной случайной величины , как правило, больше в областях, близких к математическому ожиданию . Поэтому наилучшее приближение нелинейной функции к линейной будет в области математического ожидания случайной величины.

Комплексные случайные величины

Комплексной случайной величиной называется случайная величина вида

,

где и – действительные случайные величины; .

При этом – действительная часть комплексной случайной величины , а – мнимая часть.

Случайная величина называется комплексно сопряженной случайной величине .

Комплексная случайная величина может быть представлена либо случайной точкой , либо случайным вектором на комплексной плоскости (см. рис. 6.5).

Случайная величина – длина случайного вектора называется модулем комплексной случайной величины :

.

X 1

X 2

x 2

x 1

Рис. 6.5. Представление комплексной случайной величины

Случайная величина является действительной.

Случайный угол (фазовый угол) называется аргументом комплексной величины . Действительная случайная величина определяется выражением

.

Математическим ожиданием комплексной случайной величины является комплексное число

.

Центрированной комплексной случайной величиной называется случайная величина

,

где – действительные центрированные случайные величины.

Дисперсией комплексной случайной величины называется математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной случайной величины:

,

где .

Вычислим произведение

и, воспользовавшись теоремой сложения математических ожиданий (математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий), получим

.

Дисперсия комплексной случайной величины есть действительное неотрицательное число, равное сумме дисперсий действительной и мнимой частей.

Если есть две комплексные случайные величины и , то определим ковариацию как математическое ожидание произведения центрированной комплексной случайной величины на центрированную комплексно сопряженную случайную величину :

.

Используя теорему сложения математических ожиданий, получаем

,

где – ковариации действительных случайных величин и .

При этом , так как

.

Ковариация комплексных случайных величин и равна комплексно сопряженной ковариации комплексных величин и .

Характеристическая функция случайной величины
и ее свойства

Введем комплексную случайную величину

,

где – действительная случайная величина с известным законом распределения; – параметр, имеющий размерность, обратную размерности случайной величины .

Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание комплексной случайной величины :

. (6.8)

Для дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями , характеристическая функция будет иметь вид

. (6.9)

Если случайная величина непрерывна и имеет плотность распределения , то получаем

. (6.10)

То есть характеристическая функция непрерывной случайной величины представляет собой преобразование Фурье плотности распределения и однозначно определяется этой плотностью. Отсюда следует, что и плотность распределения также однозначно выражается через характеристическую функцию посредством обратного преобразования Фурье:

. (6.11)

Основные свойства характеристической функции:

1. Характеристическая функция неслучайной величины равна

.

2. Характеристическая функция случайной величины ( и – неслучайные величины) связана с характеристической функций случайной величины следующим выражением:

.

3. Если у случайной величины существует начальный момент -го порядка , то существует -я производная характеристической функции

,

которая при выражается формулой

,

откуда получаем выражение для вычисления начальных моментов -го порядка случайной величины посредством -й производной характеристической функции в нуле:

. (6.12)

4. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Доказательство. Пусть и заданы характеристические функции случайных величин (). Характеристическая функция случайной величины будет равна

.

По теореме умножения математических ожиданий независимых случайных величин окончательно получаем

.

5. Из свойств 2 и 4 следует, что если и случайные величины независимы, то

.