Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую функцию и доказать ее свойства.
Метод линеаризации функций случайных величин
В некоторых частных случаях числовые характеристики функций случайных величин можно найти, используя только числовые характеристики аргументов таких функций. Особенно простые соотношения существуют между числовыми характеристиками функций и числовыми характеристиками аргументов, если функции линейны. Во многих практических применениях нелинейные зависимости в определенном диапазоне заменяются линейными.
Линеаризацией функции называется приближенная замена нелинейной функции линейной, что позволяет достаточно просто находить числовые характеристики функций случайных величин.
Рассмотрим задачу линеаризации функции одного случайного аргумента
,
где и – непрерывные случайные величины.
Считая, что некоторая функция дифференцируема, разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки :
.
Линеаризация есть приближенное представление функции случайной величины первыми двумя членами ряда Тейлора; при этом разложение проводится в окрестности точки математического ожидания . Это приближение тем точнее, чем меньше диапазон возможных значений случайного аргумента.
Таким образом, при приближенной замене нелинейной функции линейной получаем
.
Необходимо отметить, что при выводе формулы совершен переход от неслучайного аргумента к случайному, что, строго говоря, можно делать с оговорками, так как дифференцировать по случайной величине в общем случае нельзя.
Геометрическая интерпретация метода линеаризации сводится к замене участка кривой для диапазона отрезком касательной – линеаризованной функцией , проходящей через точку с абсциссой и ординатой (см. рис. 6.4).
Если такая замена удовлетворяет по точности, то для линеаризованной зависимости между случайными величинами и можно найти числовые характеристики :
;
;
.
Рис. 6.4. Линеаризации функции случайной величины |
K |
y |
x |
Заметим, что плотность непрерывной случайной величины , как правило, больше в областях, близких к математическому ожиданию . Поэтому наилучшее приближение нелинейной функции к линейной будет в области математического ожидания случайной величины.
Комплексные случайные величины
Комплексной случайной величиной называется случайная величина вида
,
где и – действительные случайные величины; .
При этом – действительная часть комплексной случайной величины , а – мнимая часть.
Случайная величина называется комплексно сопряженной случайной величине .
Комплексная случайная величина может быть представлена либо случайной точкой , либо случайным вектором на комплексной плоскости (см. рис. 6.5).
Случайная величина – длина случайного вектора называется модулем комплексной случайной величины :
.
X 1 |
X 2 |
x 2 |
x 1 |
Рис. 6.5. Представление комплексной случайной величины |
Случайный угол (фазовый угол) называется аргументом комплексной величины . Действительная случайная величина определяется выражением
.
Математическим ожиданием комплексной случайной величины является комплексное число
.
Центрированной комплексной случайной величиной называется случайная величина
,
где – действительные центрированные случайные величины.
Дисперсией комплексной случайной величины называется математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной случайной величины:
,
где .
Вычислим произведение
и, воспользовавшись теоремой сложения математических ожиданий (математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий), получим
.
Дисперсия комплексной случайной величины есть действительное неотрицательное число, равное сумме дисперсий действительной и мнимой частей.
Если есть две комплексные случайные величины и , то определим ковариацию как математическое ожидание произведения центрированной комплексной случайной величины на центрированную комплексно сопряженную случайную величину :
.
Используя теорему сложения математических ожиданий, получаем
,
где – ковариации действительных случайных величин и .
При этом , так как
.
Ковариация комплексных случайных величин и равна комплексно сопряженной ковариации комплексных величин и .
Характеристическая функция случайной величины
и ее свойства
Введем комплексную случайную величину
,
где – действительная случайная величина с известным законом распределения; – параметр, имеющий размерность, обратную размерности случайной величины .
Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание комплексной случайной величины :
. (6.8)
Для дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями , характеристическая функция будет иметь вид
. (6.9)
Если случайная величина непрерывна и имеет плотность распределения , то получаем
. (6.10)
То есть характеристическая функция непрерывной случайной величины представляет собой преобразование Фурье плотности распределения и однозначно определяется этой плотностью. Отсюда следует, что и плотность распределения также однозначно выражается через характеристическую функцию посредством обратного преобразования Фурье:
. (6.11)
Основные свойства характеристической функции:
1. Характеристическая функция неслучайной величины равна
.
2. Характеристическая функция случайной величины ( и – неслучайные величины) связана с характеристической функций случайной величины следующим выражением:
.
3. Если у случайной величины существует начальный момент -го порядка , то существует -я производная характеристической функции
,
которая при выражается формулой
,
откуда получаем выражение для вычисления начальных моментов -го порядка случайной величины посредством -й производной характеристической функции в нуле:
. (6.12)
4. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Доказательство. Пусть и заданы характеристические функции случайных величин (). Характеристическая функция случайной величины будет равна
.
По теореме умножения математических ожиданий независимых случайных величин окончательно получаем
.
5. Из свойств 2 и 4 следует, что если и случайные величины независимы, то
.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 1147 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!