Решение треугольника

Решением треугольника называется определение всех его сторон и углов по трем известным элементам, из которых хотя бы один должен быть его стороной.

Решение треугольника осуществляют по формулам соотношений его элементов, известных из курса тригонометрии.

Обозначив в треугольнике AВС (рисунок 31) стороны через а, в и с, а углы через А, В и С, запишем основные соотношения:

А + В + С = 180° (теорема суммы углов);

(теорема синусов);

а² = в² + с² – 2·в·сcos A (теорема косинусов);

(теорема тангенсов)

и дополнительные соотношения:

Sin A = Sin· (B + C);

.

Рисунок 31 – Треугольник

Пример. Пусть в треугольнике ABC (рисунок 31) известны сторона в и углы А и В. Необходимо найти угол С и стороны а и с.

Решение проводят в следующем порядке:

- угол С находят по теореме суммы углов

- С = 180^о – (А + В);

- стороны а и с вычисляют по теореме синусов

; ;

- контроль вычислений осуществляют по формуле

.

Пример вычислений приведен в таблице 9.

Таблица 9 – Решение треугольника

№ действия	Элемент формулы	Величина
	А	86о15'43"
	В   С = [180o – (1) + (2)]   Контроль: (1) + (2) +(4) = 180о	46о34'52"   47о09'25"     180о00'00"
	Sin A   Sin B   Sin C	0,997 873   0,726 348   0,733 220
	а = (3) в с = (3)   Контроль: аконтр = (10)	6о448,3   4о693,7   4о738,1   6о448,3

Контрольные вопросы и упражнения:

1. Дать определение прямой и обратной геодезических задач.

2. Дать вывод формул решений прямой (обратной) геодезической задачи.

3. Решить прямую задачу по данным: x₁ =6 104 172,8; y₁ = 5 565 542,8;

s = 4 021,4; α_{1, 2} =57°57'54".

Ответ: x₂ = 6 106 212,4; у₂ = 5 568 802,5.

4. Решить обратную задачу по данным:

x1 = 6 114 133,5; х2 = 6 107 134,0; у1 = 5.565 596,8; у2 = 5 574 985,3.

Ответ: α1, 2 = 126°42'21"; s =11710,5.

5. Решить треугольник по данным: