Узгин з крученням

9.1 Побудова епюр згинальних і крутних моментів

Нехай на раму (рис. 9.1) діє сила F.

Запишемо рівнянняM_x, М_у, М_z для кожної ділянки

Ділянка АВ: 0≤х≤а

M_x=M_k=0; M_y=0; M_z=Fx (нижні);

M_z(0)=0; М_z(а)=Fа (нижні)..

Ділянка ВС: 0≤ х≤b

М_х=М_к=Fа; М_у=0; М_z=Fх (нижні);

М_z(0)=0; М_z(b)= Fb (нижні).

За одержаними значеннями будуємо епюри М_к=М_х, М_у, М_z (рис. 9.1).

Таким чином, на ділянці АВ маємо прямий згин, а на ділянці ВС — згин з крученням. На цій ділянці небезпечний переріз — защемлення С. В цьому пе­рерізі виникає максимальний згинальний і крутний момент.

9.2 Аналіз напруженого стану. Визначення головних напружень

Обмежимося лише розглядом стержнів круглого поперечного перерізу. При сумісному поперечному згині і крученні у поперечному перерізі стержня виникають нормальні напруження від згинального моменту і дотичні напру­ження, пов'язані з поперечними силами і крутними моментами. Однак, вплив поперечних сил настільки малий, що ними можна знехтувати і брати до уваги лише нормальні напруження згину і дотичні напруження кручення.

Побудуємо епюри σ і τ в небезпечному перерізі С (защемлення) (рис.9.2). Небезпечними точками у перерізі С є точки D і К, у яких одночасно ви­никають максимальні нормальні та дотичні напруження. Ці напруження визна­чаються за формулами

. (9.1)

Виділимо біля точки D нескінченно малий паралелепіпед (рис. 9.2). По чотирьох Його гранях діють дотичні напруження, па двох гранях діють нор­мальні розтягуючи напруження. Інші грані вільні від напружень (рис. 9.3 а). Отже, ми маємо плоский напружений стан, для якого (рис. 9.3 б)

(9.2)

(8.1)

Головні напруження за формулою (6,8)

Отже,

.

(9.3)

9.3 Зведений момент. Розрахунок на міцність

Міцність стержня при плоскому напруженому стані треба перевіряти за однією з теорій, залежно від очікуваного характеру руйнування. Якщо передба­чається пластичне руйнування, то за третьою теорією міцності

. (9.4)

Підставляючи (9.3) в (9.4), маємо

. (9.5)

Підставляючи в (9.5) значення для σ і τ з формули (9.1) і враховуючи, що W_p=2W_z, умову міцності можна записати так:

(9.6)

або

, (9.7)

(9.7)

де через позначений зведений момент, що дорівнює

. (9.8)

я

Якщо стержень згинається в двох взаємно перпендикулярних площинах хz і ху, то згинальні моменти М _у і М_z можна розглядати як складові згинального моменту М і за формулою (8.1)

. (9.9) (9.9)

Звідси М _зг=M_s= , а

(9.10)

З формули (9.7) випливає формула підбору круглого поперечного перерізу при сумісній дії згину і кручення

(9.11)

Якщо вести перевірку за четвертою теорією міцності (енергетичною), то

(9.12)

Таким чином

(9.13)

Лекція 10

ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ