![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Соответственным пучком прямых называют множество всевозможных прямых на плоскости, проходящих через данную точку (называемую центром пучка).
Пусть
– центр пучка (известен).
Пусть – уравнение
.
Т.к. , то
. (6.1)
(6.1) – уравнение пучка (прямой, проходящей через данную точку ).
2) Пусть центр пучка неизвестен. Если и
и
(
)
(
)
и .
Тогда уравнение
(6.2)
при условии
(6.3)
определяет некоторую прямую из
, и, следовательно, является уравнением пучка прямых.
Действительно, соотношение (6.2)
, (6.4)
т.е. является уравнением вида , т.е уравнением некоторой прямой
, причем
.
(Если , то это означает, что
и
, т.е. справедлива система соотношений
,
которая в силу условия (6.3) обязана иметь ненулевое решение. А это означает, что определитель этой системы должен быть равен нулю:
.
А это равносильно условию
,
и, следовательно, . Получили противоречие. Значит, действительно
и уравнение (6.2) определяет прямую).
Кроме того, если – точка пересечения прямых
и
, т.е. центр пучка, то
, т.к.
,
и поэтому
,
следовательно, .
Замечание: Уравнение (6.2) зависит не от самих и
, а от их отношения.
Если , то (6.2) при
. (6.5)
Соотношение (6.5) – уравнение прямой собственного пучка.
Если , если же
.
Определение. Несобственным пучком прямых называют множество всевозможных прямых плоскости, параллельных некоторой прямой.
Пусть прямая (
)
определяет несобственный пучок прямых и (
)
Т. к. , то
и
. (*)
Умножим теперь обе части уравнения прямой на
:
.
В силу соотношений (*) при получаем
.
(6.6)
Таким образом, если прямая задана общим уравнением и определяет несобственный пучок прямых, то уравнение произвольной прямой
этого пучка, не совпадающей с прямой
, отличается от уравнения прямой
только значением свободного члена.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 969 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!