Розробка модуля для вибору бажаного розподілення Z- коренів

Еталонний процес - це перехідний процес (ПП) для динамічної системи оптимальний відносно певного критерію - інтегральної квадратичної помилки, витрат енергії на управління, сумарних навантажень, тривалості ПП та ін.

Ми розглянули один з можливих еталонних перехідних процесів - з кінцевим часом усталення. Коефіцієнти характеристичного рівняння такого процесу (крім 1-го) дорівнюють нулю. Можна визначити коефіцієнти для інших, у чомусь оптимальних розподілень. Узагальнимо метод стандартних коефіцієнтів - зробимо діалогову програму - "стенд", що дозволяв би вибирати і задавати еталонні процеси ad hoc - згідно з конкретними вимогами, що не завжди можуть бути повністю формалізованими і обчислювати для них коефіцієнти характеристичного рівняння. Для вибору бажаного перехідного процесу необхідно бачити одночасно і перехідний процес, відповідні йому корені z-характеристичного рівняння і показники якості перехідного процесу. Подамо корені та перехідний процес на одному графіку.

Знайдемо залежності коефіцієнтів характеристичного рівняння від коренів. У алгебраїчного рівняння третього порядку з дійсними коефіцієнтами може бути або три дійсних кореня, або один дійсний і два комплексних. Тому можемо подати корені у такому вигляді:

; ; ,

де re - дійсна, im - уявна частини. Згідно теоремі алгебри алгебраїчне рівняння так записується через корені:

.

Використовуємо послідовно опції expand та collect (подаємо тільки результати - повні вирази виходять за межі сторінки. Великі і малі літери використовуємо, щоб відділити змінні для символьних перетворень - без числових значень і змінні, яким присвоюються числові значення.)

;

.

Записуємо аналітичні вирази для коефіцієнтів різницевого рівняння як функцій коренів характеристичного рівняння.

(3.3)

Початкові умови для розрахунку ПП:

; ;

Крок обчислень:

0.1 с.

Записуємо різницеве рівняння лінійного процесу третього порядку

.

Обчислюємо показники ПП, а саме тривалість ПП та викид (перерегулювання):

; ; ;

; ; ; ; ; сек Обчислюємо допоміжні дані для побудови "стенду":

; ; ;

Початкові умови для розрахунку ПП: Крок обчислень:

; ;

Записуємо різницеве рівняння лінійного процесу третього порядку

Обчислюємо показники ПП, а саме тривалість ПП та викид:

; ; ;

; ; ; ; ; сек. Обчислюємо допоміжні дані для побудови "стенду":

; ; ; ;

; ; ;

Рис.2.2 – Вибір еталонного перехідного процесу

Виводимо значення коефіцієнтів еталонного характеристичного рівняння:

Тепер, коли вибрано значення коренів, які забезпечують потрібну якість ПП, вводимо нові означення для коефіцієнтів Z-характеристичного рівняння.