Решение. 1. Заменяем параллельное соеди-нение ветвей 2 и 3 эквивалентным последовательным соединением сопротивлений r23 и x23:

1. Заменяем параллельное соеди-нение ветвей 2 и 3 эквивалентным последовательным соединением сопротивлений r ₂₃ и x ₂₃:

g ₂ = 0; b ₂ = = = 0,1 Cм; Z ₃ = = = = 5 Oм;

g ₃ = = = 0,02 Cм; b ₃ = = = 0,06 Cм;

g ₂₃ = g ₂ + g ₃ = 0 + 0,02 = 0,02 Cм; b ₂₃ = b ₂ – b ₃ = 0,1 – 0,06 = 0,04 Cм;

Y ₂₃ = = = 0,02 Cм; Z ₂₃ = = = 10 Oм;

r ₂₃ = = = 10 Ом; x ₂₃ = = = 20 Ом.

2. Входное сопротивление цепи и её коэффициент мощности:

Z = = = 50 Oм;

cosj = = = 0,8.

Действующее значение тока в неразветвлённой части цепи (показание первого амперметра): I ₁ = = = 4 A.

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

U₂₃ = Z₂₃×I₁= 10 ×4 = 40 B.

Показания второго и третьего амперметров:

I ₂ = = = 4 A; I ₃ = = = 4 A.

3. Ваттметр включен на измерение активной мощности цепи. Его показание:

P = U×I₁×cosj = 200×4×0,8 = 640 Вт.

Активная мощность резисторов

P_R = r ₁× I ₁² + r ₂× I ₂² = 30×4² + 5× = 640 Вт

равна активной мощности источника, то есть налицо выполнение баланса активных мощностей.

ЗАДАЧА 3.23. В схеме рис. 3.23,а известно: u(t) =100 × sin(wt+ 30° ) B;

r ₁ = 5 Ом; x_{C 1} = 8 Ом; r ₂ = 3 Ом; x_{C 2} = 10 Ом; x_L = 4 Ом.

Определить токи, коэффициент мощности, построить полную векторную диаграмму цепи. Задачу решить методом пропорциональных величин. Дополнительно ответить на вопросы: при каком x_{C 2} будет резонанс токов? При каком x_{C 1} будет резонанс напряжений?

Решение

1. Построим качественно векторную диаграмму (ВД) (рис. 3.23,б). Построение следует начинать с самого дальнего от источника участка цепи (это – третья ветвь). Поскольку здесь имеется последовательное соединение сопротивлений, сначала строим вектор тока I ₃. Далее построение диаграммы ведётся от конца схемы к началу (источнику) с соблюдением законов Кирхгофа и правил построения ВД.

2. Расчёт выполняем в том же порядке, в каком строилась ВД.

Пусть I ₃ = 1 A, т.е. i ₃ (t) = × sin(wt) A. Тогда

U_{r 2} = r ₂× I ₃ = 3 B, U_xL = x_L × I ₃ = 4 B, I ₂ = = = 0,5 A.

Проекции векторов токов на оси х и у:

I _{3 x} = I ₃ = 1 A, I _{3 y} = 0; j ₃ = arctg = arctg = 53,1°,

I _{2 x} = I ₂× cos(j ₃ + 90° )= 0,5×(-0,8) = -0,4 A, I _{2 y} = I ₂× sin(j ₃ + 90° )= 0,5×0,6 = 0,3 A.

Определяем первый ток по проекциям:

I _{1 x} = I _{2 x} + I _{3 x} = -0,4 + 1 = 0,6 A, I _{1 y} = I _{2 y} + I _{3 y} = 0,3 A,

I ₁ = = = 0,671 A.

Фаза первого тока y_{i 1} = arctg = arctg = 26,6°.

Определяем расчётное значение входного напряжения по проекциям:

U_xC1 = x_C1×I₁ = 8×0,671 = 5,36 B; U_r1 = r₁×I₁ = 5×0,671 = 3,35 B,

U_x = U_{xC 1}× cos( 90° – y_{i 1} ) + U_{r 1}× cos(y_{i 1} ) + U_{r 2} =

= 5,36× cos( 90° – 26,6° ) + 3,35× cos( 26,6° ) + 3 =8,40 B,

U_y = U_{xC 1}× sin(y_{i 1} – 90° ) + U_{r 1}× sin(y_{i 1} ) + U_xL =

= 5,36× sin( 26,6° – 90° ) + 3,35× sin( 26,6° ) + 4 =0,707 B,

U_расч = = = 8,43 B,

y_Uрасч = arctg = arctg = 4,8°.

3. Коэффициенты пересчёта:

k = = = 11,86; Dy =y_U – y_Uрасч = 30° – 4,8° = 25,2°.

4. Получаем ответы i ₁ (t) = 7,96 × sin(wt + 51,8° ) A;

i ₂ (t) = 5,93 × sin(wt + 168,4° ) A;

i ₃ (t) = 11,86 × sin(wt + 25,2° ) A.

5. Условие резонанса токов: b ₂= b ₃.

b ₂= ; b ₃= = См; х_{С 2} = = = = 6,25 Ом.

6. Условие резонанса напряжений х_{С 1}= х ₂₃,

но Z ₂₃= = = 7,46 Ом,

х ₂₃ = Z ₂₃× sin(j ₃ – y_{i 1} ) = 7,46× sin( 53,1° –26,6° ) = 3,33 Ом.

Таким образом, резонанс напряжений наблюдается при х_{С 1}= 3,33 Ом.