Распространение волн в реальных металлах

Для реальных металлов . Поэтому, пренебрегая единицей по сравнению с в общих выражениях для и :

,

,

для реальных металлов получим:

. (1)

Учитывая (1), длинна волны в реальных металлах будет определяться выражением:

. (2)

Характеристическое сопротивление плоской волны в реальных металлах в показательной форме будет иметь вид:

. (3)

Используя формулу Эйлера, соотношение (3) можно переписать в алгебраической форме:

. (4)

В приведённой ниже таблице представлены некоторые параметры плоской волны на частоте 1 МГц в вакууме и в меди, наглядно иллюстрирующие особенности распространения в реальных металлах.

Вакуум ( Гн/м, Ф/м)	Медь (, См/м)
м/с м Ом	м/с м Ом

В реальных проводниках электромагнитные волны испытывают значительное ослабление. При распространении в меди на частоте 1 МГц на пути 1 мм уменьшение амплитуды составляет:

.

При распространении волн в реальных проводниках () общее выражение для глубины проникновения в средах с потерями можно преобразовать следующим образом:

. (5)

Из (5) следует что с ростом частоты глубина проникновения уменьшается.

6.6. Поляризация волн.

Для описания ориентации волн в пространстве вводят понятие поляризации. Под плоскостью поляризации подразумевают плоскость, проходящую через направление распространения волны и параллельно вектору . Из определения следует, что полученные ране решения:

; ; (1)

; ; (2)

- соответствуют двум плоским волнам с взаимно ортогональными плоскостями поляризации.

Рассмотрим основные виды поляризации на примере плоской волны, составляющие которой образованы комбинацией частных решений (1), (2):

; (3)

. (4)

Пусть слагаемые в соотношениях (3), (4) синфазны: ; .

В этом случае выражение (3) можно преобразовать следующем образом:

. (5)

Переходя в (5) к мгновенным значениям, получим:

. (6)

Из (6) следует, что поперечный вектор результирующей плоской волны расположен в плоскости, образующей угол с плоскостью XOZ (см. рис.).

При этом . (7)

В процессе распространения волны положение плоскости поляризации остаётся неизменным. Подобную поляризацию называют линейной.

Пусть слагаемые в (3), (4) равны по амплитуде, а по фазе отличаются на -90°:

, , в этом случае выражение (3) можно привести к виду:

, (8)

а временная зависимость будет определяться соотношением:

. (9)

Тангенс угла , определяющего положение плоскости поляризации относительно плоскости ХОZ, будет иметь вид:

, (10)

а сам угол будет определяться выражением:

. (11)

Из (11) следует, что в этом случае распространение волны сопровождается вращением плоскости поляризации. При этом поперечный вектор описывает винтообразную кривую на поверхности воображаемого цилиндра.

Приведённые рисунки иллюстрируют этот процесс при t=const и z=const. При z=const вектор будет вращаться по часовой стрелке, если смотреть в направлении распространения волны, с угловой скоростью , описывая в плоскости XOY окружность. Такой вид поляризации называют круговой правой. Для получения левой круговой поляризации, при которой вектор будет вращаться против часовой стрелки, слагаемые в (3) и (4) так же должны быть равны по амплитуде, а по фазе отличаться на 90⁰: , .

Из приведенных рассуждений следует, что комбинированное представление составляющих поля (3), (4) будут соответствовать плоской волне с круговой поляризацией, если взаимно ортогональные слагаемые в этих выражениях равны по амплитуде и отличаются по фазе на 90⁰. Нарушение хотя бы одного из условий приведены к эллиптической поляризации. При распространении волны в этом случае поперечный вектор описывает винтообразную кривую на поверхности эллиптического цилиндра, а при z=const, он будет вращаться, описывая эллипс (см. рис.).

Степень отличия эллиптической поляризации от круговой характеризуют коэффициентом эллиптичности, который определяют как отношение большой оси поляризационного эллипса к малой.

Раздел 7. Волновые явления на границе раздела двух сред.

7.1. Плоские волны, распространяющиеся произвольном направлении.

В предыдущем разделе рассматривались плоские волны, распространяющиеся вдоль одной из осей – декартовой системы координат. Так, волне распространяющейся в среде без потерь, в положительном направлении оси z, соответствовал фазовый множитель .

Получим выражение фазового множителя для волны, распространяющейся в направлении , образующем углы с осями x, y, z декартовой системы (см. рисунок). Выражения для составляющих поля плоской волны в этом случае будут иметь вид:

, (1)

где , , .

Единичный вектор в направлении Z` связан с ортами декартовой системы соотношением: ̅1<sub>z`</sub>= ̅1_x cos φ_x + ̅1_y cos φ_y + ̅1_z cos φ_z

Поверхность равных фаз плоской волны определяется выражением: . Проекции произвольного радиус вектора , проведенного из начала координат до пересечения с фазовой поверхностью будут определяться соотношением:

. (3)

Радиус-вектор можно выразить через его проекции следующим образом:

. (4)

Подставляя (2), (4) в скалярное произведение (3), получим:

. (5)

Используя (5), соотношения (1) можно переписать в виде:

, (6)

.

Таким образом, фазовый множитель плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, определяемом углами в декартовой системе координат представляется в виде: . Тригонометрические функции в показателе экспоненты принято называть направляющими косинуса.

При распространении волны в среде с потерями в полученном выражении фазового множителя волновое число следует заменить комплексной постоянной распространения g =b — ja.

7.2. Падение плоской волны на границу раздела двух сред.

Вводное замечание.

Рассмотрим наклонное падение плоской волны на плоскую границу раздела двух сред. Среды без потерь и характеризуются параметрами: .Угол между направлением распространения падающей волны и нормалью к границе раздела называют углом падения. Плоскость, проходящую через нормаль к границе раздела и параллельную направлению распространения падающей волны называют плоскостью падения. Вектор падающей волны перпендикулярен направлению распространения, а относительно плоскости падения он может быть ориентирован под произвольным углом. В этих случаях вектор падающей волны удобно представить суперпозицией двух волн: с вектором электрического поля перпендикулярным и параллельным плоскости падения: . Первый случай называют нормальной поляризацией, второй – параллельной.

Введём декартову систему координат так, чтобы плоскость YOZ совпадала с границей раздела сред, а плоскость XOZ - с плоскостью падения (см. рис.). Угол падения отсчитывается от оси X. Углы между направлением распространения падающей волны и осями декартовой системы равны: , , , а направляющие косинусы будут определяться соотношениями: , , . Таким образом, фазовый множитель поля падающей волны будет иметь вид:

,

где .

Нормальная поляризация.

В качестве частной задачи рассмотрим наклонное падение плоской нормально поляризованной волны на плоскую границу раздела сред с параметрами: . Введем декартову систему координат, совместив плоскость YOZ с границей раздела сред, а плоскость XOZ – с плоскостью падения. Вектор падающей волны ориентирован в положительном направлении оси Y. Вектор падающей волны расположен в плоскости падения и его проекции определяются из векторного треугольника, приведенного на рисунке.

С учетом сделанных замечаний составляющие поля падающей волны будут иметь вид:

; (1)

, (2)

где ; .

В общем случае, при падении волны на границу раздела сред образуются отраженная и преломленная волны. Будем полагать, что в данном случае (см. рисунок) направления распространения отраженной и преломленной волн лежат в плоскости падения падающей волны и, так же как и падающая полна, они – нормально поляризованы. Направления распространения отраженной и преломленной волн определяются соответственно углами и , отсчитываемыми от оси X (см. рисунок).

По аналогии с (1), (2) выражения для составляющих поля отраженной и преломленной волн можно представить в виде:

; (3)

; (4)

, ; (5)

, , (6)

где , .

В данном случае известными полагаются электродинамические параметры сред: и характеристики падающей волны: , . Требуется определить характеристики отраженной и преломленной волн: , , , . Если удастся получить решения, удовлетворяющие граничным условиям:

; , (7)

то в соответствии с теоремой единственности они будут достоверными и единственно возможными.

Учитывая, что поле в первой среде является результатом наложения падающей и отраженной волн, а во второй среде совпадает с полем преломленной волны, то, подставляя (1), (2), (3), (4), (5) и (6) в (7), получим соотношения:

, x=0, (8)

,x=0, (9)

которые будут выполняться во всех точках границы раздела и при любых значениях координаты z. Это возможно, если слагаемые в этих соотношениях имеют одинаковую функциональную зависимость по z. При этом должны выполняться следующие равенства:

, (10)

. (11)

Учитывая, что пределы изменения углов и определяются неравенствами: , , из (10) следует

. (12)

Направление распространения отраженной волны удобно задавать с помощью угла (см. рисунок), называемого углом отражения, и дополняющего угол до :

. (13)

Подставляя (13) в (12), получим:

. (14)

Равенство (14) называют – первым законом Снелиуса.

Соотношение (11) можно переписать следующим образом:

. (15)

Преобразую (15), получим равенство:

; , (16)

где n₁₂ – относительный показатель преломления. Соотношение (16) называют – вторым законом Снелиуса.

Таким образом, с помощью выражений (14), (16) решается задача определения направлений распространения отраженной и преломленной волн. Для расчета их амплитуд преобразуем уравнения (8), (9): равенства (10), (11) позволяют сократить фазовые множители, а выражение (12) – выполнить замену . Преображенные уравнения будут иметь вид:

, x=0; (17)

, x=0. (18)

Введем понятия коэффициентов отражения и преломления по электрическому полю при нормальной поляризации:

. (19)

С учетом (19) уравнения (17), (18) можно переписать в виде

, (20)

. (21)

Решая систему (20), (21) относительно и , получим выражения:

; , (22)

которые с помощью (19) по известной амплитуде падающей волны позволяют определить амплитудные значения отраженной и преломленной волн. Используя (15), в соотношениях (22) можно исключить, выразив его через функционал от :

. (23)

Полностью определив характеристики отраженной и преломленной волн, получим выражения для результирующего поля в первой и второй средах.

Поле в первой среде представляет собой композицию падающей и отраженной волн:

; . (24)

Подставляя в (24) соотношения (1)-(4), используя (19) и, учитывая, что и , получим:

, , (25),(26)

Поле во второй среде формируется преломленной волной:

; . (27)

Подставляя в (27) соотношения (5), (6), получим:

, , (28), (29)

Коэффициенты отражения и преломления: (иногда их называют коэффициентами Френеля) были получены для сред без потерь. Но соотношения (22) остаются справедливыми и в том случае, если одна из сред или обе среды обладают проводимостью отличной от нуля.

Параллельная поляризация.

Пусть вектор падающей волны находится в плоскости падения, а вектор - ориентирован в положительном направлении оси Y (см. рисунок). Используя рассуждения аналогичные приведённым выше, составляющие поля падающей, отраженной и преломленной волн в этом случае можно записать в виде:

, х £ 0 (1)

, х £ 0, (2)

, х £ 0, (3)

, х £ 0, (4)

, х ³ 0, (5)

, х ³ 0, (6)

Так же как в предыдущем разделе, неизвестными являются характеристики отраженной и преломленной волн: ,j¢, , j_n. Их значения найдем, решая граничные задачи:

; . (7)

Из построений приведенных на рисунке следует, что равенства (7) можно записать следующим образом:

, х = 0, (8)

, х = 0. (9)

Подставляя (1), (2), (3), (4), (5) и (6) в (8), (9), получим:

, (10)

, (11)

Граничные условия (10), (11) остаются справедливыми при произвольных значениях координаты z. При этом, как при нормальной поляризации, должны выполняться равенства:

(12)

(13)

Из (12), (13) следует инвариантность законов Снелиуса относительно поляризации поля падающей волны (см. предыдущей раздел). Используя (12), (13), и, вытекающие из (12), равенства , , приведем уравнения (10), (11) к виду:

, (14)

. (15)

Введем понятие коэффициентов отражения и преломления по полю при параллельной поляризации:

. (16)

С помощью (16) уравнения (14), (15) можно записать следующим образом:

, (17)

. (18)

Решая систему (17), (18) относительно коэффициентов и :

; , (19)

- получим коэффициенты Френеля для параллельной поляризации.

Как и в предыдущем разделе, в выражениях (19) можно заменить функционалом от .

Из сравнения формул для коэффициентов Френеля при нормальной поляризации следует их поляризованная зависимость.

Так же как в предыдущем разделе, использую (1)-(6), (12), (13), (16), получим соотношения для результирующего поля в первой и второй средах при параллельной поляризации:

, х £ 0 (20)

, х £ 0 (21)

, х ³ 0 (22)

, х ³ 0 (23)

Падение плоской волны по нормали к границе раздела сред. В этом случае и понятие плоскости падения теряет свой смысл. При этом и выражения для коэффициентов Френеля можно упростить:

; .