Среде без потерь

Будем рассматривать свободные (существующие без сторонних источников) гармонические колебания электромагнитного поля в однородной изотропной среде без потерь , . В этом случае для определения характеристик электромагнитного поля удобно воспользоваться однородными уравнениями Гельмгольца относительно векторов электромагнитного поля:

(1)

(2)

где коэффициент называют волновым числом.

Векторные уравнения Гельмгольца (1) и (2) можно записать в виде системы из трех скалярных уравнений относительно проекций:

(3) (4)

Наиболее простой вид уравнения (3) и (4) приобретают в случае плоских электромагнитных волн. Под плоскими подразумевают электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль линейной координаты и в каждый фиксированный момент времени неизменных в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Будем полагать, что плоская волна распространяется вдоль оси Z, и вектор Пойнтинга имеет только z-ю составляющую:

(5)

В этом случае будут отсутствовать продольные составляющие поля, направленные вдоль оси z, а вектор Пойнтинга определяется поперечными составляющими, расположенными в плоскости XOY. При этом, в соответствии с определением плоской волны, должны выполняться условия:

(6)

С учетом (6) системы (3), (4) преобразуются следующим образом:

(7), (8).

Решение уравнений системы (7) имеет вид:

(9) (10).

Аналогично могут быть записаны решения уравнений системы (8). Но, в данном случае, выражение для магнитных составляющих удобно получить из второго уравнения Максвелла, используя решения (9), (10):

(11)

(-

Подставляя (9), (10) в (11), получим:

(12) (13)

Соотношение (12), (13) можно преобразовать следующим образом:

(14) (15)

Раскрывая общий множитель в (14), (15) получим:

(16)

где z_c – имеет размерность [Ом] и называется характеристическим сопротивлением среды.

Используя (10), (15), объединим выражения для проекций напряженностей электрического и магнитного полей в пары, которым соответствует вектор Пойнтинга, направленный вдоль оси z:

(17)

(18)

Каждое из полученных решений представляет собой сумму двух слагаемых (решалось дифференциальное уравнение второго порядка). Уточним физический смысл каждого из них. Для этого, например, в первом уравнении системы (17) перейдем к мгновенным значениям:

(19)

Пусть в момент времени t=t₁ некоторому фиксированному значению фазы соответствует координата z=z₁. При этом аргументы слагаемых в (19) будут иметь вид:

(20)

В момент времени t=t₁+dt точке с тем же значением фазы будет соответствовать определенное приращение координаты z=z₁+dz и следующие изменения в аргументах слагаемых:

(21)

Приравнивая соответствующие аргументы (20), (21):

(22)

(23)

и приводя подобные члены в образовавшихся равенствах:

(24) (25)

– получим соотношения, определяющие приращение координаты dz.

Выражая в (24), (25) отношение dz/dt:

(26) (27)

получим соотношения, характеризующие скорость перемещения вдоль оси z точки с фиксированным значением фазы – фазовую скорость:

(28) (29)

Положительная скорость будет соответствовать собственной функции и фазовому множителю , отрицательная – функции и множителю . Т.о., первые слагаемые в (17), (18) соответствуют плоской волне, распространяющейся в положительном направлении оси z, а вторые – волне, распространяющейся в отрицательном направлении. Величина k в показателе экспонент соотношений (17), (18) имеет смысл постоянной распространения волны в среде без потерь или фазовой постоянной, которая соответствует изменению фазы волны в радианах (или градусах) при прохождении волной расстояния в 1 м. Эту величину называют также волновым числом. Минимальное расстояние, на котором фаза волны изменяется на , называется пространственным периодом, или длиной волны:

(30)

Проанализируем физические свойства волнового процесса, которому соответствуют уравнения (17), (18). Для этого, например, в системе (17) выделим слагаемые, соответствующие волне распространяющейся в положительном направлении оси z и перепишем их следующим образом:

(31)

;

,

где . Переходя в (31) к мгновенным значениям, получим:

(32)

;

.

Из (32) следует:

- поверхность равных фаз волнового процесса описывается соотношением z = const, т.е. волна является плоской;

- амплитуда волны - величина постоянная, поэтому поверхность равных фаз является так же поверхностью равных амплитуд, т.е. волна – однородная;

- имеются только поперечные относительно направления распространения взаимно ортогональные составляющие поля, т.е. волна является поперечной.

Между составляющими поля плоской волны существует следующая взаимосвязь:

; . (33)

Определим энергетические характеристики плоской волны. Средняя за период объёмная плотность энергии электрического поля:

.

Средняя за период объёмная плотность энергии электрического поля:

.

Средняя за период объёмная плотность полной энергии электромагнитного поля:

. (34)

Комплексный вектор Пойнтинга:

(35)

- для сред без потерь является действительной величиной и совпадает со средним за период значением:

. (36)

Скорость распространения энергии плоской волны:

, (37)

и фазовая скорость:

(38)

- совпадают для среды без потерь со скоростью света в среде: .

Физически достоверные сочетания слагаемых, которые могут быть получены из уравнений (17), (18), соответствуют, фактически, одной и той же плоской волне распространяющейся в различных направлениях оси z с разной ориентацией составляющих поля в пространстве: