Плоские волны в однородной изотропной среде с проводимостью, отличной от нуля

В среде с проводимостью отличной от нуля энергия электромагнитной волны частично расходуется на возбуждение и поддержание токов проводимости, т.е. волна в процессе распространения затухает. В общем случае наряду с джоулевыми потерями в среде могут присутствовать также диэлектрические и магнитные потери.

При джоулевых потерях электродинамические параметры среды имеют вид:

; , (1)

а постоянная распространения плоской волны - становиться комплексной величиной:

. (2)

В этом случае, решение уравнений Гельмгольца

(3)

;

,

для плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, будут, в частности, иметь вид:

; , (4)

или с учётом (2):

; . (5)

Для выяснения физического смысла и перейдём к мгновенным векторам поля, например, в первом уравнении системы (5):

. (6)

Для фиксированного момента времени зависимость приведена на рисунке.

Уменьшение амплитуды волны в процессе распространения характеризуется величиной затухания L, которое можно представить отношением амплитуды полны в точках с фиксированным смещением координаты в направлении распространения:

. (7)

Натуральный логарифм этого отношения позволяет выразить величину затухания в неперах (Нп):

, [Нп], (8)

а десятичный – в децибелах (дБ):

, [дБ]. (9)

Из (8) следует физический смысл , соответствующий уменьшению амплитуды, выраженному в неперах, на пути в 1м: . Мнимую часть комплексной постоянной распространения называют постоянной затухания волны в среде с потерями.

Действительная часть комплексной постоянной распространения имеет тот же физический смысл, что и волновое число k в среде без потерь – показывает изменение фазы волны в радианах на пути в 1м, и называется фазовой постоянной волны.

Установим связь и с электродинамическими параметрами среды (1). Для этого представим в следующем виде:

. (10)

Возводя левую и правую часть (10) в квадрат, приравнивая действительные и мнимые величины, получим систему двух уравнений:

(11)

,

.

Выразим из второго уравнения системы (11) . Возводя её в квадрат, подставим в первое уравнение системы (11):

. (12)

Умножая все члены (12) на , получим двойное квадратное уравнение:

. (13)

Решая его относительно , получим:

,

или

. (14)

Левая и правая часть (14) – действительные величины, поэтому в (14) следует сохранить только знак "+":

. (15)

Решая (15) относительно , и учитывая, что , получим:

. (16)

Подставляя из (14) в первое уравнение системы (11), и выражая , получим:

, (17)

или

. (18)

Равенство (18) выполнимо, если в правой части оставить только знак "+":

. (19)

Решая (19) относительно , получим:

. (20)

В выражениях для составляющих поля экспоненциальный множитель, в общем случае, имеет вид: , и может быть представлен следующими сочетаниями: , , , . Не противоречат физическому смыслу первое и последнее. Они соответствуют затухающим волнам распространяющимся в положительном и отрицательном направлениях оси z.

При произвольной ориентации поперечных составляющих поле плоской волны распространяющейся в положительном направлении оси z в среде с потерями может быть представлено следующим образом:

; . (21)

Характеристическое сопротивление в (21) является комплексной величиной и в алгебраической форме имеет вид:

(22)

Для получения выражения в показательной форме: , целесообразно сначала найти аналогичное выражение для квадрата комплексного сопротивления :

; ;

; .

Извлекая квадратный корень из полученного выражения, получим:

. (23)

В среде с проводимостью – характеристическое сопротивление зависит от величины :

, , ,

При этом, является, так же, функцией частоты:

, , ,

Напряжённость магнитного поля, в общее случае, определяется суммарным током: . Поэтому, переход от среды без потерь к среде с , при неизменных прочих условиях, сопровождается ростом напряжённости магнитного поля.

Проанализируем основные свойства рассматриваемого волнового процесса в среде с потерями, который, в частности, описывается соотношением (5). Переходя в них к мгновенным значениям, с учётом (23) получим:

(24)

,

Из (24) следует, что в данном случае:

- поверхность равных фаз описывается соотношением z=const, т.е. волна является плоской;

- поверхность равных амплитуд зависит от координаты z и совпадает с поверхностью равных фаз, т.е. плоская волна - однородная;

- имеются только поперечные относительно направления распространения взаимно ортогональные составляющие поля, т.е. волна – поперечная;

- амплитудная составляющая поля экспоненциально убывает в направлении распространения – волна затухающая;

- магнитная составляющая отстаёт от электрической на угол .

Фазовая скорость волны в среде с потерями определяется соотношением:

(25)

Т.к. , то фазовая скорость в среде с потерями меньше фазовой скорость в среде без потерь.

В среде с потерями фазовая скорость зависит от величины :

.

При этом, является так же функцией частоты:

.

Длина волны в среде с потерями:

, (26)

- меньше длинны волны в среде без потерь и зависит от проводимости среды:

.

Комплексный вектор Пойнтинга плоской волны в среде с потерями описывается выражением:

, (27)

а его среднее за период значение равно:

. (28)

Скорость распространения энергии для плоской волны в среде с потерями совпадает с фазовой скоростью:

. (29)

Из полученных соотношений следует принципиальное отличие параметров плоской волны с среде с потерями и без них. В частности, в средах с потерями , , - являются функциями частоты. Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды – диспергирующими. Дисперсия возможна и в средах без потерь, если один из электродинамических параметров зависит от частоты.

При распространении в средах с потерями расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в ″е″-раз называется глубиной проникновения (d):

; ; . (30)

Подставляя (20) в (30), получим:

. (31)