Аффинная классификация кривых второго порядка

Рассмотрим аффинную классификацию кривых второго порядка, которые образуют аффинные классы этих кривых.

При этом, необходимо учитывать, что если кривая выражается уравнением второй степени в какой-то аффинной системе координат, то она будет выражаться уравнением также второй степени и в любой другой аффинной системе координат. Поэтому, понятие кривой второго порядка является аффинным.

Пусть кривая второго порядка дана уравнением

. (4.5)

Принимая , умножим все члены уравнения (4.5) на :

или

(4.6)

Рассматривая различные случаи выражения коэффициентов, получаем 9 видов кривых второго порядка.

Центральные неприводимые:

1) – эллипс;

2) – гипербола;

3) – мнимый эллипс.

Центральные приводимые:

4) – пара действительных пересекающихся прямых;

5) – пара мнимых пересекающихся прямых.

Нецентральные неприводимые:

6) – парабола.

Нецентральные, распадающиеся на различные компоненты:

7) – пара действительных параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых.

Нецентральные, распадающиеся на совпадающие компоненты:

9) – пара действительных совпадающих прямых.

Разбивая каждый из этих видов на аффинные классы, получаем следующую аффинную классификацию линий второго порядка.

Класс 1 – действительные невырожденные (нераспадающиеся) линии.

Класс 2 – действительные вырожденные (распадающиеся) линии.

Класс 3 – мнимые линии.

Вопросы и упражнения к четвертому разделу

1 Какое общее аналитическое выражение имеет кривая второго порядка?

2 Перечислите все невырожденные виды кривых второго порядка.

3 Что означает слово «коники»?

4 Какие кривые второго порядка имеют следующий аналитический вид:

,

,

,

?

5 Запишите аффинное уравнение центральных неприводимых кривых второго порядка.

6 Запишите аффинное уравнение центральных приводимых кривых второго порядка.

7 Запишите аффинное уравнение нецентральной неприводимых кривой второго порядка.

8 Запишите аффинное уравнение нецентральных кривых второго порядка, распадающиеся на различные компоненты.

9 Запишите аффинное уравнение нецентральных кривых второго порядка, распадающиеся на совпадающие компоненты.

10 Сколько фокусов имеет кривая второго порядка?

11 Что подразумевается под эксцентриситетом кривой второго порядка?

12 Как графически определяется порядок кривых?

13 Что подразумевается под диаметром гиперболы?

14 Что подразумевается под осями эллипса?

15 Какая кривая второго порядка является ограниченной кривой?

16 Какие кривые второго порядка являются ограниченными кривыми?

17 Перечислите аффинные свойства следующих кривых:

– гиперболы;

– эллипса;

– параболы.

18 На какие классы подразделяются кривые второго порядка?

[1] Рассмотрите положение фокусов окружности.

[2] Укажите значение эксцентриситета для окружности.