Эллипс, гипербола, парабола в аффинной системе координат

Отмеченные выше свойства кривых второго порядка носят «наивный» характер, т.е эти свойства не исходили из чисто аффинных определений этих кривых. Здесь необходимо привлечь методы аффинной аналитической геометрии. Дадим следующие определения.

Эллипс (рисунок 4.8) – это линия, уравнение которой в некоторой аффинной системе координат имеет вид

, (4.2)

тогда аналогично для гиперболы (рисунок 4.9)

(4.3)

и параболы (рисунок 4.10)

. (4.4)

Рисунок 4.8	Рисунок 4.9	Рисунок 4.10

Уравнения (4.2) – (4.4) и графики кривых (рисунки 4.8 – 4.10) показывают следующее:

– эллипс является ограниченной кривой, находящейся внутри параллелограмма, построенного по прямым и ; эллипс имеет центр симметрии относительно начала координат;

– гипербола является неограниченная кривой, она никогда не пересекает полосу в пределах ; гипербола имеет центр симметрии относительно начала координат;

– парабола является неограниченная кривой, она расположена по одну сторону оси абсцисс.

Поэтому можно заключить, что эллипс, гипербола и парабола – это разные кривые линии.