Аффинные свойства кривых второго порядка

Кривые второго порядка

Аффинные свойства кривых второго порядка

4.1.1 Общие положения

Из аналитической геометрий известно, что кривой второго порядка называют геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

. (4.1)

Это общее уравнение второй степени относительно текущих координат и . При определенных значениях коэффициентов уравнение (4.1) можно привести к каноническому виду. Рассмотрим несколько примеров кривых второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат.

На рисунке 4.1 представлены эллипсы, уравнение которых имеет вид

.

Рисунок 4.1 – Эллипсы

Если полуоси эллипса равны, то имеем частный случай – окружность радиуса (рисунок 4.2)

Рисунок 4.2 – Окружность

Для гипербол (рисунок 4.3), уравнения имеют соответственно вид

.

Рисунок 4.3 – Гиперболы

В случае, если полуоси гиперболы равны, то она называется равносторонней, а их асимптоты являются биссектрисами координатных углов.

Параболы представлены рисунком 4.4, а их уравнения соответственно выражениями

,

Рисунок 4.4 – Параболы

Кроме того, в инженерной геометрии рассматриваются сечения прямого кругового конуса и прямого кругового цилиндра, которыми являются окружность, эллипс, парабола, гипербола, а также их вырожденные виды (пара пересекающихся и пара параллельных прямых линий, одна двойная прямая, точка).

Важными понятиями для определения свойств выше приведенных кривых второго порядка являются: фокус , директриса , эксцентриситет , полуоси и для эллипса и гиперболы (для окружности радиус ), параметр параболы;

У кривых второго порядка четыре фокуса, которые расположены на осях:

– у эллипса и гиперболы и – действительные точки, а и – мнимые;

– параболы, один действительный фокус , остальные три фокуса расположены на оси в точке ее касания с несобственной (бесконечно удаленной) прямой плоскости[1].

Любая прямая пересекает эти кривые в двух точках, этим геометрически определяется порядок кривых.

Одним из замечательных свойств кривых второго порядка являются геометрическое место точек (ГМТ). Здесь имеет место теорема: отношение расстояний от фокуса () до произвольной точки () кривой второго порядка и от этой точки до соответствующей директрисы () есть величина постоянная, и является эксцентриситетом этой кривой, (рисунок 4.5).

Рисунок 4.5 – Кривая второго порядка

Следует иметь ввиду:

– для эллипса[2] , при этом, , где ;

– для гиперболы , , ;

– для параболы .

4.1.2 Аффинные свойства эллипса

Аффинными свойствами эллипса являются:

– эллипс имеет центр симметрии – это центр эллипса;

– всякая хорда, проходящая через центр эллипса, является его диаметром;

– геометрическим местом середин параллельных между собой хорд является некоторый диаметр эллипса;

– геометрическим местом середин хорд, параллельных одному из диаметров служит диаметр, сопряженный данному;

– любой диаметр эллипса является его осью косой симметрии;

– у эллипса существует пара сопряженных диаметров и пара взаимно перпендикулярных диаметров (оси эллипса);

– касательные к эллипсу проходят параллельно диаметру, если точка касания принадлежит сопряженному диаметру;

– если квадрату, в который вписана окружность соответственно параллелограмм, то средняя линия и диагональ параллелограмма являются парами сопряженных диаметров эллипса, вписанного в этот параллелограмм;

– эллипс можно рассматривать как сечение прямого кругового цилиндра плоскостью с углом наклона к оси отличного от и .

4.1.3 Аффинные свойства гиперболы

Гипербола общего вида () может быть получена аффинным преобразованием из равносторонней гиперболы. Таким образом, последняя является частным случаем гиперболы общего вида.

Отметим следующие свойства гиперболы:

– диаметры гиперболы –это прямые линии, проходящие через центр и не совпадающие с асимптотами;

– середины всех параллельных между собой хорд принадлежат одному диаметру;

– диаметр, делящий пополам все хорды, параллельные данной прямой, называют сопряженным с этой прямой;

– гипербола в каждой своей точке имеет единственную касательную, параллельную диаметру, сопряженному с диаметром, проведенным в точку касания;

– отрезки любой секущей, заключенной между гиперболой и ее асимптотами равны между собой.

4.1.4 Аффинные свойства параболы

– парабола имеет одну ось – ось симметрии;

– прямая, параллельная оси имеет две точки пересечения с параболой: одна – собственная, а другая – несобственная;

– все диаметры параболы параллельны ее оси;

– середины всех хорд лежат на одном из диаметров параболы;

– все диаметры параболы, кроме оси, являются осями косой симметрии;

– если через точку провести две касательные к параболе, то хорда, проходящая через точки касания, делится пополам диаметром, проходящим через эту точку ;

– каждая касательная параболы делит пополам отрезок другой касательной , заключенной между точкой касания и проекцией на точки касания в направлении оси параболы: , так как (рисунок 4.6);

– касательная к параболе в точке делит пополам отрезок касательной , в вершине , заключенной между и ортогональной проекцией на ;

– вершина параболы делит пополам отрезок оси , заключенный между точкой пересечения с касательной в производной точке и проекцией на ось точки : , так как (рисунок 4.7).

Рисунок 4.6	Рисунок 4.7