![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дотепер мова йшла про підрахунок числа підмножин, що утворяться шляхом вибірки об'єктів з деякої множині відповідно до умов, що визначають їхню кількість, упорядкованість і повторюваність. Не менше значення мають задачі перерахування, зв'язанізвластивостями об'єктів.
Нехай є N об'єктів і деяка сукупність властивостей . Позначимо через N
, N
, N
і т.д. кількість об'єктів, що мають відповідно властивостями
і т.д. Очевидно, таких чисел буде стільки, скільки підмножин можна утворити з елементів множині Н, тобто
(деякі числа можуть дорівнювати нулю). Якщо бажають підкреслити, що враховуються об'єкти, що не мають властивістю
, то пишуть
. Наприклад, N
означає число об'єктів, що мають властивості
й
і не мають властивість
.
Формула включення і виключення. Число об'єктів, що не мають жодним із властивостей множини Н, визначається формулою включення і виключення:
Дійсно, при відниманні з N об'єктів із властивостями (і = 1, 2,..., п) об'єкти, що мають дві властивості
і
(і
j), віднімаються двічі, і тому потрібно додати N
, де
— попарні сполучення елементів з Н. Але при цьому двічі враховуються ті об'єкти, що мають три властивості і, отже, їх необхідно виключити, тобто відняти суму всіх N
, де
— сполучення з n властивостей по трьох. Цей процес включення і виключення продовжується до останнього члена
, що визначає число об'єктів із усіма п властивостями, знак якого залежить від парності п. Наведена формула відома також під назвами: символічний метод, принцип перехресної класифікації, метод решета, формула обернення.
Якщо записати і розглянути послідовність символів
як алгебраїчний добуток, то формулу включення і виключення можна представити в символічному вигляді.
Приклад. Для n = 3 мається
причому приймається, що N(1) = N.
ЗавдЯкі такій формалізації можна записати формулу для числа об'єктів, що мають і не мають деякі властивості:
.
Приклад. Нехай задані властивості шарів: -сталева,
-чорна,
— сферична, причому N (
) = 13; N(
) = 10; N(
) =14; N
== 4; N
= 5; N
= 3 і N
= 1. Якщо є усього N = 38 шарів, то число таких з них, що не мають жодної із зазначених властивостей, буде N
=38 — (13 + 10 + + 14) + (4 + 5 + 3) — 1 = 12. Число сталевих, але не чорних і не сферичних шарів дорівнює:
+
+
Принцип включення і виключення наочно ілюструється діаграмою Венна, що для розглянутого прикладу показана на рис. 13.1.
Рис. 13.1. Діаграма Венна для множин, що характеризуються трьома властивостями
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2523 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!