Логические операции с понятиями

Понятия «род», «вид» и «ближайщий вид»

Каждое понятие существует во взаимосвязи с другими понятиями. Одни понятия включаются в другие, которые могут включать в себя множество понятий. Следовательно, необходимо иметь навык включения и исключения одного понятия из другого. В зависимости от того включает ли понятие в свой объем другое или наоборот, само находится в объеме другого – различают родовые и видовые понятия.

· Родовым называется понятие, которое включает в себя другое понятие и его дополнение (отрицание).

· Видовым называется понятие, объем которого целиком входит в объем более общего понятия. Видовое понятие с необходимостью обладает всеми признаками видовой определенности.

Выполнение логических операций требует различения «ближайшего вида». Понятие А является ближайшим видом для понятия В, если не существует такого понятия С, которое является видом по отношению к понятию В и родом по отношению к понятию А.

Следует также особо отметить, что определенность мышления требует отличать родо-видовые отношения от отношений между целым и частью, поскольку часть предмета не обладает всеми признаками целого. Например, «человек» и «голова человека», «факультет» и «университет».

Ограничение и обобщение понятий

В основе перехода от родовых понятий к видовым и от видовых к родовым лежит формально-логический закон обратного отношения между содержанием и объемом понятий.

Ограничение понятий – это логическая операция, посредством которой совершается переход от понятия с большим объемом (род) к понятию с меньшим объемом (вид) посредством прибавления к содержанию родового понятия видообразующего признака. Ограничение одного и того же понятия может идти по разным направлениям, поскольку ограничение понятия есть его конкретизация, которая связанна с учетом особенностей при образовании более узкого понятия. Ограничить понятие – значит перейти от понятия с большим объемом, но меньшим содержанием к понятию с меньшим объемом, но большим содержанием. Таким образом, ограничение понятий в терминах описанных выше отношений между понятиями представляет собой переход от подчиняющего понятия к подчиненному, а с точки зрения объемов понятий – это переходы от классов (множеств) к подклассам (подмножествам). Пределами ограничения являются единичные понятия. Например, результатом ограничения понятия «студент» является понятие «студент-юрист Петров».

Обобщение понятий – это логическая операция, посредством которой совершается переход от понятия с меньшим объемом (вид), к понятию с большим объемом (род), при этом содержание второго понятия уменьшается согласно закону обратного отношения, но это не значит, что при этом уменьшается количество его признаков. Это означает лишь то, что содержание второго понятия логически следует из содержания первого. Например, содержание понятия xP(x,a) («студент, сдавший во время данной сессии логику») шире, чем содержание понятия x$yP(x,y) («студент, сдавший какой-нибудь из предметов данной сессии»), поскольку имеем , но . Ясно также, что , но . Следовательно, понятие x"yP(x,y) – «студент, сдавший все предметы данной сессии», – богаче по содержанию, чем первое (xP(x,a)) и второе (x$yP(x,y)) из указанных. Таким образом, последовательность понятий x"yP(x,y), xP(x,a), x$yP(x,y) представляет собой результат последовательного обобщения понятия x"yP(x,y), а обратная последовательность – результат последовательного ограничения понятия x$yP(x,y).

Обращаясь к вопросу о пределах обобщения, то здесь важно указать необходимость различения обобщения отдельно взятого понятия (вне какой-либо системы знаний) от обобщения понятия в составе некоторой системы знания или в рамках некоторой теории. Например, рассматривая понятие «млекопитающее, живущее на суше», можно получить последовательно: «млекопитающее», «животное», «живое тело», «тело» и даже вообще – «нечто». Это последнее, по-видимому, и есть предел обобщения любого отдельно взятого понятия. В рамках же биологии, как некоторой системы знания, пределом обобщения понятия «млекопитающее, живущее на суше» было бы «живое тело», поскольку переход к понятию «тело» и тем более к понятию «нечто» означал бы выход за рамки биологии, так как тела вообще и тем более «нечто» не являются объектом изучения биологии.

Деление понятий

Деление понятий – это операция разбиения объема понятия на подвиды, представляющие собой совокупности предметов, мыслимых в этом понятии. Процесс деления может быть охарактеризован так же, как процесс выявления возможных видовых понятий.

В составе каждого деления выделяют: делимое понятие, то есть понятие, которое делят; основание деления, то есть признак, по которому происходит деление; члены деления – видовые понятия по отношению к исходному.

Принято различать правильное и неправильное деление.

Деление является правильным, если оно удовлетворяет следующим пяти условиям или правилам деления.

1. Деление должно происходить по одному определенному основанию. При этом основание деления может представлять собой сочетание двух или даже большего числа различных признаков. Например, можно произвести операцию деления понятия «механическое движение» по основанию, состоящему из двух признаков: характеру траектории и состоянию скорости во времени, – получив в результате такие понятия: «прямолинейное и равномерное движение», «прямолинейное и равноускоренное движение», «прямолинейное и равнозамедленное движение», «криволинейное и равномерное движение» и т.д. Не соблюдение этого правила приводит к логической ошибке – «смешению оснований». Смешение оснований происходит, например, когда понятие «преступление» делится на «умышленные», «неумышленные» и «должностные».

2. Полученные при делении понятия должны быть попарно несовместимы. Примером логической ошибки на это правило является операция деления понятия «параллелограмм» на «прямоугольники», «ромбы» и «квадраты», поскольку такие пары понятий как «квадрат» и «ромб», «квадрат» и «прямоугольник» не взаимоисключающие.

3. Члены деления должны исчерпывать объем делимого понятия, то есть объединение их должно быть равно этому объему. Нарушение этого правила приводит к двоякого рода ошибке. Во-первых, «неполное деление», которое имеет место, когда в результате деления указаны не все виды делимого родового понятия. Например, в случае деления понятия «часть речи» на «имя существительное», «имя прилагательное» и «глагол». Во-вторых, «деление с излишним членом», которое имеет место в том случае, когда кроме видов делимого понятия указывают члены деления, не являющиеся видами данного рода. Например, «химические элементы» делятся на «металлы», «неметаллы», «сплавы» (сплавы не являются химическими элементами).

4. Никакой из членов деления не должен быть пустым классом.

5. Деление должно быть непрерывным, то есть все его члены являются ближайшими видами объема исходного понятия, выделяемыми по выбранному основанию. Логическая ошибка, возникающая при не соблюдении этого правила – «скачок в делении». Например, в операции деления будет допущена ошибка, если понятие «сказуемое» разделить на «простое», на «составное глагольное» и «составное именное». Правильным будет сначала разделить понятие «сказуемое» на «простое» и «составное», а затем «составное» разделить на «составное глагольное» и «составное именное».

В логике принято различать два вида деления: деление по видоизменению признака и дихотомическое деление.

Деление по видоизменению признака – это деление с произвольным числом классов, в каждом из которых определенный признак, выступающий основанием для деления, присутствует, но проявляется в разной степени. Так, например, понятие «студент» можно разделить на следующие: «студент дневной формы обучения», «студент вечерней формы обучения», «студент заочной формы обучения». Основанием деления в данном случае служит форма обучения.

Дихотомическое деление – деление на два взаимоисключающих множества. В процессе дихотомического деления делимое понятие делится на два противоречащих понятия. Например, понятие «преступление» делится на «преднамеренное преступление» и «непреднамеренное преступление».

Однако следует помнить, что не всякое двухчленное деление является дихотомическим. Явно не дихотомично, например, деление «людей» на «мужчин» и «женщин». Дихотомически следовало бы разделить «людей» на «мужчин» и «не-мужчин» либо на «женщин» и «не-женщин». Преимуществом данного вида деления является простота самой операции, гарантирующая отсутствие таких ошибок, как перекрещивание членов деления, то есть случаев, когда члены деления не исключают друг друга, а также отсутствие необходимости уточнять состав объема делимого понятия дополнительно к той, которая выделяет положительный член. В то время как недостатком данного вида деления, по сравнению с рассмотренным выше видом, является его недостаточная конкретность – неопределенность отрицательных членов дихотомического деления.

Следует отличать логическую операцию деления понятий от расчленения предмета на части. В случае операции деления содержание делимого понятия всегда можно утверждать относительно каждого члена деления, получая при этом истинные высказывания. В случаях же членения предмета на части получаются бессмысленные высказывания.

Определение понятий

Определение понятий – это логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Понятие, содержание которого раскрывается, называется определяемым (definiendum) или сокращенно Dfd. Понятие, раскрывающее содержание определяемого понятия называется определяющим (definience) или Dfn.

Виды определения

Определения бывают:

1. реальные и номинальные. Деление определений на реальные и номинальные зависит от того, что определяется – содержание понятия или значение термина.

Реальное определение (экспликация) – это определение, посредством которого раскрывается содержание понятия, то есть определяемый предмет выделяется из класса сходных предметов по его отличительным признакам. Результат определения такого типа представляет собой суждение – характеристику обозначаемых данным термином предметов.

Номинальное определение – это определение, посредством которого раскрывается значение вводимого термина или выражения. Номинальное определение есть условие или соглашение относительно употребления данной знаковой формы. Определение в этом случае представляет собой ответ на вопрос, что называют или будут называть данным термином, что имеют в виду или будут иметь в виду под данным выражением.

2. По структуре выделяют определения явные и неявные, в зависимости от того, выделяются ли в качестве самостоятельных (непересекающихся) частей определяемое выражение (Dfd) и определяющее (Dfn).

Явное определение – это определение, в котором выражаются существенные признаки определяемого предмета и которое имеет вид равенства или эквивалентности – Dfd = Dfn. Данный вид определения является наиболее простой и наиболее употребительной формой определений.

К виду явных определений относятся определение через род и видовое отличие и его разновидность генетическое определение.

Неявное определение – это определение, в котором содержание понятия выводится из отношения к другим понятиям. Неявные определения отличаются от явных тем, что в них нельзя выделить в качестве самостоятельных частей определяемое (Dfd) и определяющее выражения (Dfn) и, следовательно, нельзя представить их в виде равенства или эквивалентности. К неявным определениям относятся определения через отношение предмета к своей противоположности, контекстуальные, остенсивные и др.

Правила определения

1. Определение должно быть соразмерным. Правило соразмерности требует, чтобы объем определяемого понятия был равен объему определяющего, то есть соблюдалось равенство – Dfd = Dfn.

Нарушение этого правила ведет к ошибкам определения. Во-первых, ошибке слишком широкого определения, то есть когда объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия (Dfd < Dfn). Например, «Логика – это наука о мышлении», ошибка заключается в том, что в данном определении не указан специфический признак логики как науки о мышлении, отличающей ее от других наук, изучающих мышление. Во-вторых, к ошибке слишком узкого определения, когда в качестве видового отличия берется отличительный признак не вида, а подвида (Dfd > Dfn). Например, «Остров – часть суши, ограниченная со всех сторон морем».

2. В определении не должно быть круга. Понятие не должно определяться через самого себя. Ошибка, которая получается вследствие нарушения этого правила, называется порочным кругом. Она встречается в двух разновидностях: круг в определении и тавтология. Круг в определении означает, что при определении понятия прибегают к другому понятию, которое в свою очередь, определяется при помощи первого. Например, «логика – это наука о правильном мышлении, а правильное мышление – это мышление в соответствии с правилами логики». Понятие «логика» определяется через понятие «правильное мышление», а последнее определяется через понятие «логика». Тавтология – это ошибочное определение, в котором определяемое и определяющее понятия выражены одинаковыми терминами. Например, «Агитатор – человек занимающийся агитацией».

3. Определение должно быть ясным, не допускающим двусмысленности, то есть должно быть сформулировано в однозначно определенных терминах, предметные значения которых должны быть известны. Нельзя определять понятия через такие термины, которые сами нуждаются в определениях. Ошибка подобного рода называется определением неизвестного через неизвестное. Так, например, «агностицизм – это разновидность скептицизма».

4. Определение по возможности не должно быть отрицательным, поскольку такого рода определение не указывает на существенный признак, характеризующий предмет и отличающий его от других предметов. Например, «Роза – не верблюд».

Операции над классами (множествами)

Класс, или множество (то есть совокупность предметов, охватываемая объемом понятия) может включать в себя подклассы, или подмножества. Так, например, класс «городов» включает в себя подкласс «городов России», класс «рек» – подкласс «рек Сибири» и т.д.

Понятие, из объема которого происходит выделение подкласса, называется родовым или родом; понятие, объем которого выделяется из родового понятия – видовым или видом (например, наука – родовое понятие, химия – видовое).

При рассмотрении операций над классами в логике вводятся следующие обозначения:

А, В, С …– произвольные классы;

1 – универсальный класс;

0 – пустой класс;

È – знак объединения классов (сложения);

Ç – знак пересечения классов (умножения);

А´, (; ù А) – дополнение к классу А.

Операции над классами иллюстрируются круговыми схемами, универсальный класс обозначается прямоугольником.

Класс (множество) – это совокупность предметов, которые можно мыслить вместе на основании удовлетворения ими каким-либо условиям или признакам. Классы могут быть единичными, то есть состоящими только из одного элемента; конечными, состоящими из конечного числа элементов; бесконечными – элементы которых принципиально не допускают пересчета, например, бесконечным классом является класс всех четных чисел; неопределенными; пустыми, то есть вовсе не содержать элементов и универсальными, которые противополагаются пустым классам и состоят из всех объектов подлежащей рассмотрению предметной области.

Подкласс (подмножество) – это такое множество, каждый элемент которого в то же время является элементом более широкого множества.

Из двух и более классов с помощью определенных операций можно образовать новый класс. Основными операциями над классами являются объединение классов (сложение), пересечение классов (умножение), образование дополнения к классу (отрицание) и вычитание класса (разность).

Объединением классов (сложением) называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из таких объектов, каждый из которых является элементом, по крайней мере, одного из слагаемых классов. Полученный в результате сложения класс АÈВ называется суммой.

Например:

А – класс депутатов Государственной Думы.

В – класс юристов.

АÈВ – класс, содержащий всех депутатов Госдумы и всех юристов.

· Свойства объединения (сложения):

AÈB=BÈA AÈB=ù(ùAÇùB) AÈ0=A

AÈ(BÈC)=(AÈB) ÈC AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC) ùAÈùB=ù(AÇB)

AÈA=A AÈ1=1

· Операция объединения (сложения) над классами, объемы которых находятся в разных отношениях:

Равнозначность: AÈB=A, AÈB=B

= =

Пересечение (частичное совпадение): AÈB=AB

Подчинение: AÈB=A

=

Соподчинение: AÈB=С

=

Противоположность: AÈB=A, AÈB=В, AÈB¹AВ

= или, но не А и В (АВ).

Противоречие: AÈB=С

=

Пересечением классов (умножением) – называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из общих умножаемым классам элементов. Класс АÇВ, полученный в результате умножения, называется произведением.

Например: Произведением классов «студент» (А) и «шахматист» (В) является новый класс «студент-шахматист» (АÇВ).

При умножении множеств, находящихся в отношении несовместимости, получается нулевой класс. Например, умножение классов «гуси» и «утки» дает пустое множество, так как нет таких объектов, которые одновременно были бы и гусями и утками.

· Свойства пересечения (умножения):

AÇB=BÇA AÇA=A ùAÈùB=ù (AÇB)

AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC AÇ1=A

AÇ0=A AÇB=ù (ùAÈùB)

· Операция пересечения (умножения) над классами, объемы которых находятся в разных отношениях:

Равнозначность: AÇB=A, AÇB=B

= =

Пересечение (частичное совпадение): AÇB=С

А и В

Подчинение: AÇB=B

=

Соподчинение: AÇB=Æ

= Æ

Противоположность: AÇB=Æ

= Æ

Противоречие: AÇB=Æ

= Æ

Вычитанием классов (разностью) – называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из элементов уменьшаемого класса, не принадлежащих вычитаемому классу.

Например: А/В

А – класс «химический элемент».

В – класс «металл».

В результате вычитания получается класс, состоящий из химических элементов, не являющихся металлами.

· Свойства вычитания (разности):

A/А=Æ A/ùA =А ùA/А=ùA

· Операция вычитания (разности) над классами, объемы которых находятся в разных отношениях:

Равнозначность: A/B=В/A=Æ

= Æ

Пересечение (частичное совпадение): A/B=А и ùВ, В/А=В и ùA

= А/В = А и ùВ

= А/В = В и ùA

Подчинение: A/B= А и ùB, В/А=Æ

= A/B = А и ùB

Соподчинение: A/B=А, В/А=В

= A/B = А

= В/А = В

Противоположность: A/B=А, В/А=В

= A/B = А

= В/А = В

Противоречие: A/B=А, В/А=В

= A/B = А

= В/А = В

Образованием дополнения к классу (отрицанием) – называется логическая операция, состоящая в образовании нового класса А´ (), который состоит из элементов универсального класса, не принадлежащих дополняемому классу А.

Чтобы образовать дополнение, нужно класс А исключить из универсального класса: 1-А=А´. Например, чтобы образовать дополнение к классу «студент», надо подвергнуть этот класс отрицанию. Полученный класс «не-студент» является дополнением к классу «студент». Класс студентов, сложенный с классом «не-студентов», образует универсальный класс учащихся (AÈA´=1).

Между объединением, пересечением и отрицанием работают следующие равносильности:

; ; ;

· Свойства дополнения:

Отношения между дополняемым классом и его дополнением есть отношения противоречия, которое характеризуется тем, что каждый из объектов какой-нибудь универсальной области может мыслиться в объеме только одного из противоречащих понятий. Из этого свойства противоречащих понятий вытекают все законы операции дополнения.

1. Сумма класса и его дополнения равна универсальному классу:

АÈA'=1.

2. Сумма дополняемого класса и универсума равна универсальному классу:

АÈ1=1.

3.
Произведение дополняемого класса и универсума равно дополняемому классу: АÇ1=А.

4. Произведение класса и его дополнение является пустым классом: АÇA'=0.

5. Сумма пустого класса с произвольным классом равна этому классу:

AÈ0=A.

6. Произведение пустого класса с произвольным классом является пустым классом: АÇ0=0.

7. Дополнением универсума является пустой класс: 1'=0.

8. Дополнением пустого класса является универсум: 0'=1.

9. Дополнением дополнения является дополняемый класс: (A')'=A.

Делением классов (обратным умножением) – называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из определенной части делимых классов.

· Операция деления (обратного умножения) над классами, объемы которых находятся в разных отношениях:

Равнозначность: (AÇВ):А=(АÇB):В=A=В

= = = А = В

Пересечение (частичное совпадение): (AÇВ):А=В, (АÇB):В=A

= (AÇВ):А = В

= (AÇВ):В = A

Подчинение: (AÇВ):А=В, (АÇB):В=A

= = (AÇВ):А = В

= = (AÇВ):В = А