Классификация простых суждений

Деление суждений по характеру предиката

В зависимости от предиката суждения, то есть от того, что именно утверждается или отрицается о тех или иных предметах, различают суждения:

в которых утверждается или отрицается существование предмета – это экзистенциальные суждения или суждения существования;

в которых утверждается или отрицается отношение между некоторыми предметами – это суждения об отношениях;

в которых утверждается или отрицается наличие некоторого свойства у предмета – атрибутивные суждения.

В экзистенциальных суждениях или суждениях существования всегда имеется лишь один субъект. Пример такого суждения – высказывание: «Пегаса не существует в действительности». Важно знать, что «существование» как предикат – это существование в реальной действительности, его нужно отличать от существования предмета в некоторой области – универсуме рассуждения, которое выражается в языке логики предикатов специальным квантором – квантором существования ($) или соответствующими кванторными словами естественного языка (многие, найдется, некоторые, большинство, существует). Особо следует отметить, что поскольку каждое суждение можно рассматривать как утверждение или отрицание наличия в действительности некоторой ситуации, то представляя содержание любого суждения, таким образом, всегда можно трактовать его как экзистенциальное.

Суждения об отношениях (релятивные) – это суждения, в предикате которых выражаются отношения между предметами.

В зависимости от числа предметов, вступающих в то или иное отношение, различают двухчленные, трехчленные, n-членные отношения. Например, в суждении «Иван брат Петра» мыслится двухчленное отношение, «Москва расположена между Брестом и Кировым» – трехчленное отношение. Соответственно этому выделяют суждения с двух-, трех-, n-местными предикатами, где в предикатеR фиксируется определенное отношение, а в субъекте x₁, … x_n – предметы, вступающие в это отношение.

Структура суждения об отношениях символически записывается так:

R (x₁, … x_n).

В настоящее время наиболее разработанной является теория двухчленных (бинарных) отношений.

Свойства бинарных отношений

1. Рефлексивность -есть свойство, которое состоит в том, что каждый элемент отношения находится в том же отношении к самому себе.

Аксиома для рефлексивности: .

Рефлексивными отношениями, например, являются отношения «равенства», «эквивалентности», «тождества» и т.д.

Отношение не удовлетворяющее данному свойству называется антирефлексивным – когда ни один предмет данного отношения не находится в этом отношении к самому себе.

Аксиома для антирефлексивности:

Антирефлексивными являются, например, отношения «отцовство», «большинство», «старшинство».

2. Симметричность – это такие отношения, когда для любых предметов x и y данного класса является верным то, что если предмет x находится в каком-то отношении к предмету y, то и предмет y находится в этом отношении к предмету x.

Аксиома для симметричности: .

Свойством симметричности обладают такие отношения, например, как «равенство», «неравенство», «соседства».

Антисимметричность – это такие отношения между предметами, когда для любых (необязательно разных) предметов x и y данного класса является верным, что если предмет x находится в каком-то отношении к предмету y, то предмет y не находится в этом же отношении к предмету x.

Аксиома для антисимметричности: или

Примерами такого рода отношений, являются, например, отношения «являться мужем», «быть больше».

Асимметричность – это такие отношения между предметами, когда для любых разных предметов x и y данного класса является верным, что если предмет x находится в каком-то отношении к предмету y, то предмет y не находится в этом же отношении к предмету x.

Данные отношения имеют место тогда, когда некоторые отношения не является ни симметричным, ни антисимметричным. Асимметричным отношением является, например, отношение «ухаживать за», – оно не является симметричным и в тоже время с необходимостью не является асимметричным.

3. Транзитивность – это свойство отношиний для x, y и z некоторого класса, которое устанавливается тогда и только тогда, когда x находится в некотором отношении с y, и y находится в том же отношении к z, а это влечет то, что x находится в том же отношении с z.

Аксиома для транзитивности: .

Примерами транзитивных отношений являются отношения «больше», «равно», «ниже».

В случае если указанное выше условие не выполняется, отношение называется нетранзитивным.

Аксиома для нетранзитивности:

Например, таковыми являются отношения «любить», «ненавидеть», «зависеть», «владеть».

4. Эквивалентность – это такие отношения, которые обладают свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Эквивалентность каких-либо предметов означает их равенство (тождество) в каком-то отношении.

Эквивалентными являются, например, отношения «равенства», «тождества», «сверстничества».

5. Отношения порядка. В математике различают три вида структур: алгебраические, топологические (сохраняющие непрерывность) и структуры порядка. Отношения порядка обладают свойствами антисимметричности / асимметричности и транзитивности, то есть отношения, удовлетворяющие указанным свойствам квалифицируются как отношения порядка.

Атрибутивные суждения

Атрибутивные суждения – это суждения, в которых либо утверждается, либо отрицается наличие некоторого свойства у предмета. Атрибутивное суждение называют также категорическим, поскольку утверждение или отрицание свойств или признаков предмета производится с необходимостью, то есть безотносительно к каким-либо условиям. Атрибутивные суждения можно рассматривать так же, как частный случай суждений об отношениях, а именно как суждения с одноместным предикатом. Часто некоторые суждения об отношениях допускают свой перевод в форму атрибутивного суждения. Например, суждение об отношениях «Земля (субъект суждения) вращается вокруг (предикат суждения) Солнца (субъект суждения)» может быть истолковано как атрибутивное – например, «Земля (субъект суждения) есть (связка) планета, которая вращается вокруг Солнца (предикат суждения)», или «Солнце (субъект суждения) есть (связка) небесное тело, вокруг которого вращается Земля (предикат суждения)», либо как «Отношение между Солнцем и Землей (субъект суждения) есть (связка) отношение такое, что Земля вращается вокруг Солнца (предикат суждения)».

Деление атрибутивных суждений по качеству и количеству

Деление атрибутивных суждений по качеству производится в зависимости от характера связки, указывающей на наличие или отсутствие свойства предмета мысли и выражающейся словами «есть», «суть», «быть», «являться».

В соответствии с этим суждения делятся на утвердительные и отрицательные.

Например, «Все люди суть разумные существа» – утвердительное суждение, а суждение «Ни один папоротник никогда не цветет» – отрицательное. Отрицательные суждения не следует смешивать с отрицаемыми и отрицающими суждениями, суть которых определяется характером взаимоотношений между суждениями. Отрицающим называется суждение, которое указывает на ложность другого суждения, а это другое суждение называется отрицаемым.

В зависимости от того, утверждается или отрицается что-либо об одном предмете, либо о части предметов, либо обо всех предметах определенного класса, суждения делятся на единичные, частные и общие. Например, суждение «Все металлы – являются проводниками» – является общим; «Некоторые люди не знают грамоты» – частным; «Иван Сергеевич Тургенев – автор романа "Отцы и дети"» – единичным.

Объединенная классификация суждений по качеству и количеству образует категорические суждения: общеутвердительные (A), общеотрицательные (E), частноутвердительные (I) и частноотрицательные (O). Единичные суждения в отдельную группу не выделяются и анализируются как общие.

Современная символическая логика вводит специальные средства для обозначения суждений типа А, Е, I, О: кванторы, логические переменные и логические постоянные. В результате все четыре указанных типа суждений можно представить символически:

А – – «Все S суть P» или «для всякого х верно, что если он обладает свойством S, то обладает свойством P».

I – – «Некоторые S суть P» или «существуют х, обладающие свойством S и свойством P».

Необходимо также указать на те сложности, которые часто возникают при понимании частноутвердительных суждений со словом, «некоторые». Вообще в логике кванторное слово «некоторые» легко разъясняется при добавлении фразы: «возможно даже все, но по крайней мере один», – так что, например, частноутвердительное суждение «некоторые японские автомобили являются автомобилями марки "Тойота"» означает «некоторые, возможно даже все, но по крайней мере один японский автомобиль является автомобилем марки "Тойота"». Однако если такое частноутвердительное суждение, как «некоторые японские автомобили являются автомобилями марки "Тойота"» преобразовать в суждение «некоторые автомобили марки "Тойота" являются японскими автомобилями» наше понимание данного, уже преобразованного, суждения сталкивается с определенными трудностями. Внутренний протест против такого преобразования вызван тем, что в этом случае невольно домысливается, что: «а некоторые автомобили марки "Тойота" не являются японскими автомобилями», – а это не соответствует действительности. Такая мешающая правильному пониманию сопутствующая мысль легко снимается добавлением к кванторному слову «некоторые» фразы «возможно даже все…» и преобразованное таким образом суждение – «некоторые, возможно даже все, но по крайней мере один автомобиль марки «Тойота» является японским автомобилем» – уже не вызывает возражений и трудностей в понимании.

E – – «Ни одно S не суть P» или «для всякого х верно, что если он обладает свойством S, то не обладает свойством P».

O – – «Некоторые S не суть P» или «существуют х, обладающие свойством S и не обладающие свойством P».

В логике существует объемное истолкование этих четырех видов суждений.

· Так, в общеутвердительном суждении (А) утверждается, что имеет место включение класса S в класс P – это равносильно тому, что пересечение классов S и P' (не-P), то есть дополнения к P, пусто. Таким образом, среди свойств общеутвердительного суждения следует отметить:

– пересечение класса S и класса не-P – пусто;

– результатом пересечения класса S и класса P является класс S;

– сложение класса не-S и класса P дает универсальный класс;

– результатом сложения класса S и класса P является класс P.

· В частноутвердительном суждении (I) подчеркивается непустота пересечения классов S и P. Среди свойств частноутвердительного суждения следует отметить:

– пересечение класса S и класса P – непусто;

– пресечение класса S и класса не-P не равносильно классу S;

– результат сложения класса не-S и класса не-P не составляет универсального класса;

– сложение класса S и класса не-P не равносильно классу не-P.

· В общеотрицательном суждении (E) класс S целиком исключается из класса P – это означает, что пересечение классов S и P пусто. Среди свойств общеотрицательного суждения следует отметить:

– пересечение класса S и класса P – пусто;

– результатом пересечения класса S и класса не-P является класс S;

– результат сложения класса не-S и класса не-P составляет универсальный класс;

– результатом сложения класса S и класса не-P является класс не-P.

· В частноотрицательном суждении (O) класс S исключается частично из P, то есть пересечение S и P' ( не-P ) непусто. Среди свойств частноотрицательного суждения следует отметить:

– пересечение класса S и класса не-P – непусто;

– пересечение класса S и класса P не равносильно классу S;

– результат сложения класса не-S и класса P не составляет универсального класса;

– сложение класса S и класса P не равносильно классу P.