Тема 19. Перевірка правильності нульових гіпотез про рівність двох генеральних середніх та двох дисперсій

1. Електролампочки на 220 В виготовлялися двома електроламповими заводами. З першої партії, виготовленої заводом № 1, здійснили вибірку обсягом =25, а з другої партії – обсягом = 36. Першу і другу партії електролампочок перевірили на тривалість роботи. Результати перевірки наведено у вигляді статистичних розподілів такого вигляду:

yi

xj

Відомо, що ознаки Y – тривалість роботи електролампочки першого заводу і Y – тривалість роботи електролампочки другого заводу є випадковими величинами, які незалежні між собою і мають нормальний закон розподілу зі значеннями
= 50, = 72. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність

, якщо альтернативна гіпотеза .

2. У двох партіях містяться однотипні шарикопідшипники, виготовленi двома заводами. Вимірювання їх діаметрів дали результати, які наведено у вигляді двох статистичних розподілів:

yi, мм	6,64	6,7	6,74	6,78	6,82		xj, мм	6,58	6,6	6,8		7,2

При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза ,

коли відомі значення ; .

3. З двох партій монет вартістю 5 коп. було вибрано 50 і 60 штук, які зважували на терезах. Результати цих зважувань подано у вигляді двох статистичних розподілів:

yi,г	9,4	9,6	9,8		10,2		xj,мг	9,33	9,63	9,93	10,23	10,53

Припускаючи, що Х і Y мають нормальний закон розподілу і незалежні між собою, при рівні значущості перевірити

, якщо альтернативна гіпотеза ,

коли відомі значення ; .

4. Вимірювання зросту дітей віком шість років, випадково вибраних із двох дитячих садків, дало такі результати:

yi, м	0,52	0,58	0,64	0,72	0,8		xj, м	0,48	0,56	0,64	0,72	0,8

Беручи до уваги, що випадкові величини Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

5. Кров’яний тиск було виміряно (в умовних одиницях) y 20 осіб віком 40 років із одного району міста і в 18 осіб того самого віку з іншого району міста. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi

xj

Припускаючи, що випадкові величини Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність

, якщо альтернативна гіпотеза .

6. Пружність вимірювалась на зразках, виготовлених з однієї і тієї самої марки сталі і вибраних із двох партій. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi	36,8	38,8	40,8	42,8	44,8		xj	34,2	38,2	42,2	46,2	50,2

Зважаючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

7. Протягом року вимірювалась продуктивність праці (в тис. грн/ працівн.) у двох будівельних фірмах. Результати вимірювання подано статистичними розподілами:

yi

xj

Вважаючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

8. Визначався обсяг валової продукції на підприємствах однієї і тієї ж галузі у двох районах України. Результати розрахунків подано двома статистичними розподілами:

yi,млн.грн

xj,млн.грн.

Ураховуючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність

, якщо альтернативна гіпотеза .

9. Досліджувався місячний прибуток робітників у гривнях двох заводів однієї і тієї ж галузі виробництва. Результати досліджень подано двома статистичними розподілами:

yi	150,6	160,6	170,6	180,6	190,6		xj	140,8	160,8	180,8	200,8	220,8

Ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

10. Вимірювався вміст золи в умовних одиницях в цукрових буряках, що вирощувалися на двох ділянках господарства з однаковим складом добрив у ґрунті. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi	0,652	0,692	0,732	0,772	0,812		xj	0,664	0,684	0,704	0,724	0,744	0,764

Ознаки Х і Y є незалежними між собою і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

11. Визначалась урожайність зеленої маси вівса, зібраного у двох районах області. Результати розрахунків наведено у вигляді статистичних розподілів:

yi, ц/га

xj, ц/га

Ураховуючи, що ознаки Х і Y (урожайність в ц/га) є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

12. Норма витрат на технічне обслуговування і ремонт нових марок тракторів вимірювалась у двох сільських господарствах району. Результати вимірювань показано двома статистичними розподілами:

yi, грн/га	0,58	0,6	0,62	0,64	0,66		xj, грн/га	0,56	0,6	0,64	0,7	0,74

Ознаки Х і Y (норми витрат) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

13. Визначалися річні середні витрати електроенергії на комунально-побутові вимоги для одного мешканця у двох містах. Результати розрахунків подано двома статистичними розподілами для першого і другого міст:

yi, Вт/м.

xj, Вт/м.

Ознаки Х і Y (річні витрати в кВт/особу) є незалежними між собою і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези.

, якщо альтернативна гіпотеза .

14. Вимірювання вмісту азоту в цукрових буряках, які вирощувалися на двох ділянках, розміщених у різних місцях колективного господарства, з однаковим складом ґрунту показав результати, що наведені у двох статистичних розподілах:

yi, умов. од.	1,24	1,28	1,32	1,36	1,4	1,44		хj, умов. од.	1,14	1,18	1,22	1,26	1,3

Ознаки Х і Y (вміст азоту) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези при альтернативній гіпотезі

, якщо альтернативна гіпотеза .

15. Вимірювання значень наробки на мотор автомобіля, що здійснювався у двох автопарках міста, наведено у вигляді статистичних розподілів:

yi, тис. км	1,9	2,15	2,4	2,65	2,9	3,15		xj, тис. км	1,8		2,2	2,4	2,6	2,8

Ознаки Х і Y (наробки в тис. км) є випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

16. Заміри довжини волокон вовни, одержаної від овець, що утримувалися на двох фермах, подано двома статистичними розподілами:

yi, мм

xj, мм

Ознаки Х і Y (довжини волокон) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

17. У двох автопарках виміряли витрати палива автомобілем за одну годину. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi, кг/год		35,2	35,4	35,6	35,8			xj, кг/год	35,4	35,8	36,2	36,6

Ознаки Х і Y (витрати палива за год) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу ймовірностей. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

18. Вимірювалось споживання масла за одну добу одним мешканцем у двох регіонах країни. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi, мг	15,99	18,99	21,99	24,99	27,99		xj, мг	14,55	20,55	26,55	32,55	38,55

Ознаки Х і Y (добове споживання масла в мг) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу ймовірностей. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

19. Вимірювання маси в грамах пухових волокон від овець подано двома статистичними розподілами:

yi, г	4,44	4,84	5,24	5,64	6,04		xj, г	4,36	4,96	5,46	5,96	6,46

Ознаки Х і Y (маса волокон в грамах) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

20. Вимірювалась жива маса курчат, які відгодовувалися на двох птахофермах. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi, г	96,5	99,5	102,5	108,5	111,5		xj, г	85,5	105,5	125,5	145,5	165,5

Ознаки Х і Y (жива маса курчат) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу ймовірностей. Якщо рівень значущості a = 0,01, перевірте правильність нульової гіпотези

, за альтернативної гіпотези .

Тема 20. Елементи дисперсійного, кореляційного та регресійного аналізу

1. У результаті проведення досліду з метою з’ясування впливу чорного пару на врожайність пшениці з ділянки в 9 га (3 га були під чорним паром; 3 га – під картоплею; 3 га – під кормовими травами) дістали такі результати:

Фактор	Врожайність, ц/га
Чорний пар	26,6; 26,6; 30,6
Площа під картоплею	24,3; 25,2; 25,2
Площа під кормовими травами	26,6; 28,0; 31,0

За рівень значущості береться a= 0,01.

2. Експериментально досліджувався вплив на зносостійкість колінчатих валів технології їх виготовлення – вплив фактора А, який має чотири рівні, тобто застосовувалися чотири технології виготовлення валів.

Одержані результати наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А	Кількість відпрацьованих місяців
А 1	9; 8; 10; 12
А 2	10; 12; 11; 8
А 3	8; 16; 10; 18
А 4	9; 18; 10; 8

При рівні значущості a = 0,01 перевірити вплив технологій на зносостійкість валів.

3. Для перевірки впливу методики навчання виробничим навикам на якість підготовки із випускників виробничо-технічного училища навмання вибирають чотири групи учнів, які після закінчення навчання за різними методиками тестувалися на кількість виготовлених однотипних деталей протягом робочої зміни.

Результати тестування наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (методики)	Кількість виготовлених деталей за робочу зміну
А 1	60, 80, 75, 80, 85, 70
А 2	75, 66, 85, 80, 70, 80, 90
А 3	60, 80, 65, 60, 86, 75
А 4	95, 85, 100, 80

При рівні значущості a = 0,05 з’ясувати вплив методики навчання на якість підготовки учнів.

4. Залежність урожайності пшениці досліджується від сорту пшениці, яких чотири. Результати досліджень наведені в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (сорт пшениці)	Урожайність, ц/га
А 1	28,7; 26,7; 21,6; 25,0; 28,2
А 2	24,5; 28,5; 27,7; 28,7; 32,5
А 3	23,2; 24,7; 20,0; 24,0; 24,0
А 4	29,0; 28,7; 20,5; 28,0; 27,0

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив сортності пшениці на її врожайність.

5. Стальні болти з різною добавкою компоненти А в сталі, з якої вони виготовлялися, були піддані випробуванням на міцність.

Результати цих випробувань наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (відсоткова добавка)	Міцність, кг/мм2
А 1	25; 28; 20; 22
А 2	29; 22; 21; 18
А 3	19; 25; 30; 22
А 4	18; 30; 24; 20

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив добавки компоненти на міцність болта.

6. Електролампочки напругою 220 В виготовлялися на трьох заводах із використанням різних технологій. З кожної партії, що надходили в науково-дослідний інститут від кожного заводу, навмання брали по чотири електролампочки і піддавали їх випробуванням на тривалість горіння.

Результати цього експерименту наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (технології виготовлення)	Тривалість горіння, год
А 1	90; 85; 105; 110; 95
А 2	80; 110; 115; 90; 105
А 3	75; 120; 110; 90; 85

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив технологій виготовлення на тривалість горіння лампочок.

7. Рейтинг лівих партій, що вимірювався у навмання вибраних шести районах на Заході України, у центральній її частині і на Сході, дав такі результати:

Ступінь впливу фактора А	Рейтинг, %
А1 (західні райони)	14,5; 5,6; 23,8; 6,4; 26,2; 14,5
А2 (центральні райони)	22,5; 12,2; 24,8; 16,8; 11,9; 26,6
А3 (східні райони)	13,4; 20,8; 30,8; 20,8; 6,4; 12,3

При рівні значущості a = 0,001 з’ясувати, чи впливає істотно регіон України на рейтинг лівих партій.

8. На дослідних ділянках, кожна з яких має площу 6 га, досліджувалась залежність урожайності пшениці від внесення в ґрунт добрив
А ₁, А ₂, А ₃, А ₄.

Результати експерименту наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (тип добрива)	Урожайність, ц/га
А 1	25,6; 36,2; 22,8; 30,2; 32,5; 28,4
А 2	28,5; 40,6; 42,8; 36,4; 22,4; 29,6
А 3	24,4; 38,6; 48,4; 50,2; 28,4; 22,8
А 4	29,5; 52,8; 24,2; 22,8; 56,2; 48,4

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив типу добрива, що вноситься в ґрунт, на урожайність пшениці.

9. З кожної із 8 партій однотипних заготовок навмання бралися заготовки, які оброблялися на трьох верстатах-автоматах різної модифікації. Кількість деталей, виготовлена верстатами, досліджувалася на стандартність.

Результати досліджень подано в таблиці:

Фактор А (тип верстатів-автоматів)	Кількість деталей, виготовлених верстатами-автоматами, що відповідають стандарту
А 1	100; 86; 90; 89; 95; 22; 80; 79
А 2	99; 82; 98; 88; 100; 96; 98; 100
А 3	100; 88; 86; 98; 98; 100; 99; 99

При рівні значущості a = 0,01 перевірити вплив модифікації верстатів-автоматів на якість виготовлених деталей.

10. Проводилось дослідження розподілу числа кров’яних тілець у певній одиниці об’єму крові в людей, що перебували певний час у трьох зонах на різній відстані від Чорнобильської АЕС та в зоні, вільній від радіації.

Результати досліджень наведено в таблиці:

Фактор А (зони)	Кількість кров’яних тілець
А 1 (в зоні АЕС)	6; 8; 3; 2; 6; 9
А 2 (на відстані 50 км)	5; 4; 10; 11; 6; 8
А 3 (на відстані 100 км)	5; 4; 13; 12; 10; 15
А 4 (вільна від радіації зона)	18; 16; 21; 20; 22; 21

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив перебування людини в певній зоні на кількість кров’яних тілець.

11. Залежність між зростом Y та масою дітей Х наведена в таблиці:

Y = yi, м	0,620	0,580	0,640	0,650	0,670	0,680	0,695	0,699	0,710
Маса X = xi, кг	0,531	0,524	0,541	0,550	0,559	0,620	0,632	0,672	0,682

Y = yi, м	0,715	0,725	0,781	0,790	0,795	0,800	0,810	0,850	0,860
Маса X = xi, кг	0,689	0,692	0,694	0,698	0,690	0,710	0,720	0,725	0,730

12. Залежність кількості проданих пар чоловічого взуття Y від його розміру Х наведена в таблиці:

Y = yi, шт.
X = xi

13. Вимірювання температури в грудні, здійснені у двох містах, що умовно позначені А і В, наведено в таблиці:

Місто А Y = yi,°С	– 10,2	– 11,5	– 12,4	– 12,8	– 13,0	– 13,5	– 14,2	– 14,6
Місто В X = xi ,,°С	– 20,2	– 20,5	– 21,4	– 21,8	– 22,0	– 22,5	– 22,8	– 22,8

Місто А Y = yi,°С	– 14,6	– 15,7	– 16,4	– 17,2	– 17,5	– 18,2	– 18,6	– 18,9
Місто В X = xi ,,°С	– 23,2,	– 24,1	– 24,5	– 25,1	– 25,8	– 26,0	– 26,5	– 27,0

14. Зі старшого класу навмання вибраної середньої школи було відібрано групу учнів. Дані про їх середньорічні оцінки з математики та решти дисциплін в балах наведено в таблиці:

Y = yi
X = xi

Y = yi
X = xi

15. Конденсатор було заряджено до повної напруги в певний момент часу t, після цього він починає розряджатися. Залежність напруги Y від часу розряджання Х наведено в таблиці:

Y = yi
X = xi

Y = yi
X = xi

16. Залежність урожайності пшениці Y від глибини зволоження Х наведено в таблиці:

Y = yi, ц/га
X = xi, см

Y = yi, ц/га
X = xi, см

17. Показники товарообігу Y та суми витрат Х, які досліджувалися в 20-ти магазинах, наведено в таблиці:

Y = yi, грн.
X = xi, грн.

Y = yi, грн.
X = xi, грн.

18. Результати вимірювання чутливості Y відеоканалу та звукового каналу Х наведено в таблиці:

Y = yi
X = xi

Y = yi
X = xi

19. Залежність величини зносу різця Y від тривалості роботи Х показано в таблиці:

Y = yi, мм	30,0	29,1	28,4	28,1	28,0	27,7	27,5	27,2	27,0
X = xi, год

Y = yi, мм	26,8	26,5	26,3	26,1	25,7	25,3	24,3	24,1	24,0
X = xi, год

20. Залежність кров’яного тиску Y людини (в умовних одиницях) від довжини руки Х наведена в таблиці:

Y = yi, умов. од.
X = xi, см	62,1	61,1	61,0	60,5	60,0	59,0	58,5	58,0	57,5

Y = yi, умов. од.
X = xi, см	56,5	56,0	55,5	55,0	54,5	54,0	53,5	53,0	52,5

Список рекомендованої літератури

Основна література:

1. Барковський В. В. Математика для економістів. Теорія ймовірностей та математична статистика / Барковський В. В., Барковська Н. В., Лопатін О. К. – К.: НАУ, 1999. – 447 с.

1. Бугір М. К. Посібник з теорії ймовірності та математичної статистики / Бугір М. К. – Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. – 176 с.

2. Жлуктенко В. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник. У 2 ч. / Жлуктенко В.І., Наконечний С. І. – Ч. 1. Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2000. – 304 с.

3. Жлуктенко В. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник. У 2 ч. / Жлуктенко В.І., Наконечний С. І. – Ч. 2. Математична статистика. – К.: КНЕУ, 2001. – 336 с.

4. Турчин В. М. Математична статистика. Посібник / Турчин В. М. – К.: Видавничий центр „Академія”, 1999. – 240 с.

5. Черняк О. І. Теорія ймовірностей та математична статистика: Збірник задач: Навч. посіб. / Черняк О. І., Обушна О. М., Ставицький А. В. – К.: Т-во „Знання”, КОО, 2001. – 199 с.

Додаткова література:

1. Жалдак М.І. Теорія ймовірностей і математична статистика з елементами інформаційної технології / Берлінська С.Ю., Жалдак М.І., Кузьміна Н.М.– К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. / Гмурман В. Е. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

3. Каніовська І. Ю. Теорія ймовірностей у прикладах і задачах / Каніовська І. Ю. – К.: Політехніка НТУУ КПІ, 2004. – 154 c.

4. 4. Чорней Р. К. Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. для вищ. навч. Закл / Дюженкова О. Ю., Жильцов О. Б., Чорней Р. К. та ін.; За ред. Чорнея Р. К. – К.:МАУП, 2003. – 328 с.

Додаток А

Таблиця значень функції Гаусса

0.0	0.3989
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0	0.2420
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0	0.0540
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9