Собственные значения и собственные векторы матрицы

Комплексное число называется собственным числом квадратной матрицы , если существует ненулевой вектор (матрица-столбец) , такой, что выполнено равенство

. (13)

Вектор называется в этом случае собственным вектором матрицы , соответствующим числу .

Такой собственный вектор – не единственный, т.к., если удовлетворяет уравнению (13), то и вектор - тоже удовлетворяет, где t – любое число, не равное нулю. Следовательно, собственный вектор определяется с точностью до множителя.

Матричное уравнение (13) эквивалентно однородной системе

(14)

Для того чтобы система (14) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

(15)

Уравнение (15) называется характеристическим для матрицы и представляет собой алгебраическое уравнение - ой степени относительно . Его корни и являются собственными числами матрицы .

Если матрица - диагональная, т.е.

, (16)

с разными числами по диагонали (), то собственные числа совпадают с диагональными элементами матрицы .

Как известно из курса алгебры , уравнение (15) имеет, по крайней мере, один корень, а пример с матрицей (16) показывает, что у матрицы размера максимум собственных чисел. Чтобы найти собственные числа, надо решить уравнение (15). Для нахождения собственных векторов решается система (14) при найденных значениях .

►Пример 14. Найти собственные числа матрицы .

Решение.

Составим характеристическое уравнение

.

Вычисляем определитель:

Уравнение имеет три действительных корня: , которые и являются собственными числами. ◄

Для того чтобы найти собственный вектор, соответствующий собственному числу , надо решить систему (14), подставив в нее значение числа .

►Пример 15. Найти собственные векторыдля матрицы примера 14.

Решение.

Найдем собственный вектор для числа . Для этого решим однородную систему

Ранг матрицы этой системы равен двум, на единицу меньше числа неизвестных. Решение найдем через миноры матрицы :

Итак, собственный вектор имеет вид , где любое число, не равное нулю. Ответ можно писать при t =1, помня замечание, приведенное выше.

Аналогично находятся два других вектора. Советуем студентам найти их самостоятельно. ◄