Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Метод основан на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности :
.
Если мало, то члены, содержащие во второй и более высоких степенях, являются малыми и ими пренебрегают. Тогда
.
Значение находим из дифференциального уравнения, подставив в него начальные условия. Таким образом можно получить приближённое значение зависимой переменной при малом смещении от номинальной точки. Этот процесс можно продолжать, используя соотношение
, , (5.4)
делая сколь угодно много шагов.
В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Последнее связано с геометрической интерпретацией процесса: искомая функция заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах .
При достаточно малой величине шага метод Эйлера даёт решение с большой точностью, т.к. погрешность решения близка к на каждом шаге интегрирования. На рис. 5.1 приведена блок-схема решения задачи Коши методом Эйлера.
Рис. 5.1 Блок-схема метода Эйлера для задачи Коши
5.1.2. Метод Эйлера с пересчётом
Значение правой части уравнения (5.2) возьмём равным среднему арифметическому между и . Используя схему метода Эйлера (5.4), получим:
, (5.5)
Это неявная схема, т.к. входит и в правую и левую части. Здесь применяют один из итерационных методов. Но если имеется хорошее начальное приближение , то можно построить решение с использованием двух итераций следующим образом: считая начальным приближением, вычисляем первое приближение по формуле метода Эйлера (5.4):
.
Новое значение подставляем вместо в (5.5) и находим окончательное значение :
. (5.6)
Это модификация метода Эйлера, называемая методом Эйлера с пересчётом.
Метод Эйлера с пересчётом можно получить и иначе, используя разложение функции в ряд Тейлора:
.
Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей:
.
Заменяя и , где найдено по методу Эйлера, приходим к формуле метода Эйлера с пересчётом. Здесь мы получили оценку погрешности метода: на каждом шаге локальная погрешность равна , суммарная – имеет порядок .
Для метода Эйлера с пересчётом рационально вводить автоматический выбор шага в каждом узле: если величина , то шаг увеличиваем, если , то шаг уменьшаем.
На рис. 5.2 приведена блок-схема метода Эйлера с пересчётом.
Рис. 5.2 Блок-схема метода Эйлера с пересчётом
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 657 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!