СМО с ограниченной очередью

Размеченный граф данного класса СМО представлен на рис. 1.10.

Конечное состояние в системе определяется максимальным числом мест в очереди плюс 1 канал обслуживания. Введем обозначение . Система уравнений для нахождения предельных вероятностей имеет вид:

(1.19)

Учитывая, что , получим уравнение для определения :

Þ ,

откуда получим , где –любое, т.е. на отношение не накладывается никаких ограничений.

Вероятности .

Определим среднее число заявок в СМО:

. (1.20)

Обозначим через , тогда

(1.21)

Подставив (1.20) в (1.21),получим:

. (1.22)

Отметим, что вероятность отказа равна вероятности последнего состояния в размеченном графе:

;

.

Используя формулы Литтла (1.1 – 1.3), получим:

; (1.23)

; (1.24)

. (1.25)

Рассмотрим частный случай, когда , т.е. . В этом случае :

;

.

Основные характеристики СМО определяются по следующим формулам:

СМО с неограниченной очередью. Так как СМО без отказов, то , а .

Для получения формул расчета характеристик СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью.

. (1.26)

Чтобы существовал предел, необходимо выполнение условия , которое означает, что интенсивность обслуживания должна быть больше интенсивности потока заявок, иначе очередь будет расти до бесконечности.

Отметим, что в СМО с бесконечной очередью

. (1.27)

Предел (1.26) равен: , и тогда

; (1.28)

; (1.29)

. (1.30)

Рассмотрим вопрос о функции распределения времени пребывания в одноканальной СМО с бесконечной очередью при дисциплине очереди FIFO.

Время пребывания в СМО, когда в ней находится n заявок (система находится в состоянии S_n, равно сумме длительностей обслуживания n заявок. Так как время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, то плотность функции распределения условной вероятности времени пребывания в СМО, когда в ней находится n заявок, определяется так же, как распределение Эрланга n порядка (см. раздел 1.2.2)

Искомая плотность функции распределения определяется выражением:

С учетом (1.19) и (1.27), запишется в виде:

Видим, что − экспоненциальное распределение с математическим ожиданием , что совпадает с (1.28).

Из того, что − экспоненциальное распределение, следует важный вывод: выходной поток заявок в одноканальной СМО с бесконечной очередью является пуассоновским потоком.

1.4.2. Многоканальные пуассоновские СМО

СМО с ограниченной очередью (N>0)

Размеченный граф данного класса СМО представлен на рис. 1.11.

Рис. 1.11.Размеченный граф многоканальной СМО с ограниченной очередью

Составим систему уравнений для определения предельных вероятностей состояний:

, где

.

Введем обозначение , тогда

, и

.

Учитывая условие, что сумма всех вероятностей равна единице, т.е. , получим :

. (1.31)

Определим среднее число заявок в очереди:

, где ;

. (1.32)

Введем в рассмотрение функцию:

;

. (1.33)

Подставим (1.33) в (1.32):

. (1.34)

Вероятность отказа в обслуживании равна:

.

Эффективный поток заявок:

.

Используя формулы Литтла, получим среднее время ожидания заявок в очереди:

.

Время в СМО отличается от на время обслуживания:

.

Наконец среднее число заявок в системе равно:

.

Частный случай .

Система уравнений для определения примет вид:

Определим :

;

.

Средняя длина очереди равна:

.

Учитывая, что , получим:

.

СМО без очереди (N=0)

Рис. 1.12. Размеченный граф многоканальной СМО без очереди

Используя (1.31) при , получим:

.

Вероятность отказа в обслуживании равна:

.

Следовательно,

.

Предельные вероятности состояний равны:

.

Так как очередь отсутствует, среднее время нахождения заявок в СМО равно:

. (1.35)

Среднее число заявок в СМО равно:

(1.36)

СМО с неограниченной очередью (N→ ∞ )

Рис. 1.13. Размеченный граф многоканальной СМО с неограниченной очередью

Для определения характеристик данной СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью при :

;

(1.37)

(1.38)

Чтобы существовал установившийся процесс в СМО, необходимо выполнение условия

.