Доказательство. Необходимость: Пусть формулы и равносильны

Необходимость: Пусть формулы и равносильны. Тогда, по определению, для любого набора значений пропозиционных переменных , ,..., формулы и принимают одинаковые истинностные значения. Это значит, что высказывания и будут либо оба истинны, либо оба ложны. В обоих случаях эквивалентность истинна. Следовательно, исходная формула есть тавтология.

Достаточность: Пусть формула в условии теоремы есть тавтология, тогда для любого набора значений пропозиционных переменных, например, , ,..., её значение будет «истина», т.е. эквивалентность есть истинное высказывание. Следовательно, высказывания и либо оба истинны, либо оба ложны. Таким образом, для любых значений пропозиционных переменных формулы и принимают одинаковые истинностные значения, поэтому они равносильны. Теорема доказана.

Основная цель в логике высказываний – это поиск тавтологий (общезначимых или тождественно-истинных формул). При построении произвольной теории обычно выбирают систему аксиом. Каждая аксиомы – это тавтология. Логическая структура теорем – это тавтология. Поэтому, поиск новых аксиом – актуальная задача. Для обозначения тавтологий будем использовать символ: ╞.

Рассмотрим несколько правил построения новых тавтологий из уже существующих. Зная ограниченное число простых тавтологий и несколько таких правил, можно вывести большое количество различных общезначимых формул.

Первое правило основано на теореме.

Теорема 5: Пусть - произвольная формула, - формула, получаемая из подстановкой формулы вместо простого компонента везде, где он встречается в . Тогда, если ╞ , то ╞ .

Замечание: Далее будем считать эквивалентные формулы взаимозаменяемыми.

Рассмотрим второе правило построения тавтологий непосредственным путем. Сначала рассмотрим формулы, построенные из пропозиционных переменных с помощью операций .

Определение 7: Формула называется негативом формулы , если она получена заменой каждого вхождения на символ и наоборот и заменой каждого вхождения на выражение и наоборот.

Например, негативом формулы есть формула .

Нижеследующая теорема связывает понятия негатива и тавтологии.

Теорема 6: Пусть есть формула, построенная из пропозиционных переменных только с помощью операций . Пусть есть негатив формулы . Тогда ╞ .

Замечание: Выше было показано, что операции можно исключить из любой формулы. Система логических связок является полной. Значит, теорему 6 можно применять гораздо шире.

Вместо построения таблицы истинности для произвольной формулы можно применять арифметические процедуры. Основой для такого подхода служат следующие соглашения:

1. И = 1, Л = 0.

2. Каждая пропозиционная переменная принимает значения 0 или 1. При этом формула интерпретируется как истинностная функция.

3. Суммы и произведения, в которые входят слагаемые и сомножители 0 и 1, подсчитываются как в обычной арифметике за одним исключением: 1+1=0.

Принимая во внимание все выше сказанное, находим, что основные истинностные функции задаются следующими формулами:

,

,

,

,

.

В этих терминах тавтологиями будут те функции, которые тождественно равны 1.