![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 8.1. Числа Фибоначчи можно рассчитать по формуле
.
Доказательство. Убедимся в справедливости этой формулы для n = 0, 1, а затем докажем справедливость данной формулы для произвольного n по индукции. Вычислим отношение двух ближайших чисел Фибоначчи:
Мы видим, что отношение этих чисел колеблется около значения 1.618 (если игнорировать несколько первых значений). Этим свойством числа Фибоначчи напоминают члены геометрической прогрессии. Примем , (
). Тогда выражение
преобразуется в
,
которое после упрощений выглядит так
.
Мы получили квадратное уравнение, корни которого равны:
Теперь можем записать:
(где c является константой). Оба члена и
не дают чисел Фибоначчи, например
, в то время как
. Однако разность
удовлетворяет рекуррентному уравнению:
.
Для n =0 эта разность дает , то есть:
. Однако при n =1 мы имеем
. Чтобы получить
, необходимо принять:
.
Теперь мы имеем две последовательности: и
, которые начинаются с одинаковых двух чисел и удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле. Они должны быть равны:
. Теорема доказана.
При возрастании n член становится очень большим, в то время как
, и роль члена
в разности сокращается. Поэтому при больших n приближенно можем записать
.
Мы игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи возрастают до бесконечности при росте n до бесконечности).
Отношение называется золотым сечением, его используют за пределами математики (например, в скульптуре и архитектуре). Золотым сечением является отношение между диагональю и стороной правильного пятиугольника (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Правильный пятиугольник и его диагонали
Для обозначения золотого сечения принято использовать букву в честь известного афинского скульптора Фидия.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 487 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!