![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Сочетаниями с повторениями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из т элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами.
При этом возможно т > п, поскольку допускается повторение элементов в их неупорядоченном наборе из т элементов.
Пример. Сочетания с повторениями из элементов а, b и с по 2: аb(=bа), ас(=са), bс(=сb), аа, bb, cc.
Число всех сочетаний с повторениями элементов л различных типов по неупорядоченным наборам из т элементов (обозначается ) есть
=
=
.
Действительно, нетрудно установить начальные условия: = п,
= 1. Первое условие означает, что из п различных типов элементов можно выбрать п различных сочетаний по одному элементу, причем повторений в этом случае не будет, т.е.
=
= п.
Второе условие означает, что из элемента одного (единственного) типа можно получить одно (единственное) сочетание из т элементов. Это будет сочетание, где элемент единственного типа повторяется т раз, т. е. =
=1
Зафиксируем (обратим внимание на) элемент одного какого-то типа среди п различных типов. Тогда каждое сочетание или содержит этот тип элемента (и, следовательно, т- 1остальных элементов этого сочетания можно выбрать способами), или нет (и, следовательно, сочетание т элементов п -1 оставшегося типа можно выбрать
способами). Используя правило суммы, получим
=
+
.
Далее непосредственной проверкой убеждаемся, что если выбрать =
(здесь
- число сочетаний без повторений
из п+т- 1по т или биномиальный коэффициент), то предыдущее равенство даст =
+
или,
=
+
, если обозначить k = п+т-2.
Последняя формула есть основное тождество для биномиальных коэффициентов (для чисел сочетаний без повторений). Таким образом, равенство, полученное на основе правила суммы для числа сочетаний с повторениями, приводит к тождеству для биномиальных коэффициентов, если выбрать =
. Можно считать последний результат угаданным, если будут выполнены начальные условия:
= п,
= 1.
При нашем выборе =
=
= п и
=
=
=1.
Поскольку оба начальных условия выполнены, окончательно получаем
=
=
.
Для примера сочетаний с повторениями элементов а, b, с 3 различных типов по 2 имеем
=
=
= 4!/ (2! (4-2)!) = 6.
Решением задачи 6 является при m = 3 и п = 6
=
=
=
=8!/(3!(8-3)!)=8× 7 × 6/ (1 × 2 × 3) =8 × 7 = 56
вариантов результатов при бросании одновременно 3 одинаковых игральных костей. Здесь п = 6 (на каждой кости возможно выпадение 6 различных типов цифр) и т = 3 (берутся сочетания цифр с возможными повторениями на 3 бросаемых костях).
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 454 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!