Линейный интеграл магнитной силы

Закон магнитодвижущей силы. Представим себе некоторую точку A ₁расположенную в магнитном поле (рис. 48).

Пусть магнитная сила поля в этой точке будет H. Составим выражение:

Hcosa dl,

где dl — элементарное перемеще­ние вдоль некоторого пути пере­хода от точки a ₁до точки A ₂, а a — угол между направлением этого перемещения и направле­нием магнитной силы поля.

Как мы уже знаем, величина механической силы, действующей на единицу северного (положительного) магнитизма, помещенную в данной точке поля, численно равна H, и, следовательно, составляющая этой силы по направле­нию перемещения точки А численно будет равна Hcosa. Поэтому произведение

Hcosa dl

дает нам численную величину работы, совершаемой силами магнит­ного поля при элементарном перемещении единицы северного магнитизма. Интеграл от этого выражения, взятый вдоль конечного отрезка некоторой линии (напр. А ₁ А ₂ ):

дает численную величину работы, совершаемой при таком конечном перемещении единицы северного магнитизма, и называется линей­ным интегралом магнитной силы вдоль отрезка A ₁ A ₂. Этот ин-

теграл называется также разностью магнитных потенциалов точек a ₁и А ₂или магнитодвижущей силой, действующей на дан­ном пути перехода от точки a ₁до точки A ₂. Основания для вве­дения термина „магнитодвижущая сила" будут выяснены в § 18. Аналогичный интеграл в учении об электрическом поле носят, как известно, название разности электрических потенциалов.

Нас сейчас интересует величина линейного интеграла магнитной силы в одном частном случае, именно, когда линия, вдоль ко­торой мы берем интеграл, представляет собою замкнутый контур. Значение величины

в этом частном случае облегчает описание и расчет магнитных це­пей (знаком „ " мы указываем, что интегрирование производится ко замкнутому контуру).

Обследование вопроса показывает, что величина

зависит только оттого, будет ли наш контур (будем называть его „контуром интегрирования") сцепляться с каким-либо контуром тока или нет. Именно, можно доказать, что

где I —величина полной силы тока, сцепляющегося с контуром.интегрирования. В данном случае под величиной полной силы тока мы разумеем алгебраическую сумму сил токов, сцепляющихся с контуром.

Соотношение (10) мы будем называть законом магнитодвижу­щей силы.

Если I =0, то и

т. е. работа, совершаемая силами магнитного поля при перемещении единицы северного магнитизма по замкнутому контуру, не сцепля­ющемуся ни с каким контуром тока, равна 0. Таким образом, мы можем вообще сказать, что величина выражения

является мерою силы тока, сцепляющегося с контуром интегриро­вания.

Докажем сначала справедливость равенства

.для простейшего случая.

Возьмем какой-либо контур тока (на рис. 49 он изображен в разрезе) и некоторую замкнутую линию, показанную на рис. 49 пунктиром и сцепляющуюся с контуром тока. Ее мы и примем за

контур интегрирования.

Представим себе на этой линии в точке С некоторое количество магнитизма, равное т. Оно может пере­мещаться под влиянием создаваемого током магнитного поля, я, следовательно, силами этого поля может быть совершена неко­торая работа. Если вообще при относительном перемещении кон­тура тока и магнитного поля происходит изменение потока, прони­зывающего контур, то работа, затрачиваемая на это перемещение, равна, как известно, произведению из силы тока в контуре на ве­личину изменения пронизывающего его потока, т. е.

dA=I•dФ.

Принимая в рассматриваемом данном случае I =const, мы мо­жем написать это выражение не в дифференциальной форме, а в форме конечных разностей:

DA=I • DФ,

на основании чего заключаем, что работа, совершаемая за про­межуток времени, соответствующий некоторому конечному перемещению количества магнитизма m, равна произведению силы тока на полное изменение за данный проме­жуток времени потока, сцепляюще­гося с контуром тока, или, рассу­ждая по Фарадею, произведению из силы тока на полное число пере­сечений магнитных линий с конту­ром тока.

Чтобы рассчитать это число пе­ресечений для случая перемещения количества магнитизма m вдоль рас­сматриваемого замкнутого контура, вспомним, что с этим количеством магнитизма связан поток Ф=4pm. Так как для нас по существу важно лишь относительное перемещение магнитного потока к контура с током, то для большей ясности можно предположить, что магнитная масса т остается неподвижной в точке С, а контур с током, оставаясь параллельным самому себе, перемещается таким образом, что точка С с находящейся на ней магнитной массой опишет относительно кон­тура тока как раз замкнутую линяю, помеченную на рис. 49 пункти­ром, пройдя при этом сквозь контур тока. Полное число магнитных линий, пересеченных контуром тока при таком перемещении, будет очевидно 4pm, т. е.

DФ=4pm.

Следовательно, работа, произведенная силами магнитного поля, при этом перемещении будет:

DA=IDФ=4pmI.

Так как, с другой стороны, магнитная масса m при таком пере­мещении контура с током опишет в магнитном поле последнего замкнутую линию, то

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Если контур интегрирования сцепляется не с одним, а с несколь­кими контурами токов, то мы должны были бы ввести в расчет алгебраическую сумму этих токов, т. е. написать:

Если бы мы перемещали магнитную массу т вдоль такого замкнутого контура, что она при этом не проходила бы сквозь контур тока, т. е. если бы контур интегри­рования не сцеплялся с контуром тока (рис. 50), то число линий, пересечен­ных контуром тока в одном направле­нии, было бы равно числу линий, пе­ресеченных им в направлении проти­воположном.

В таком случае резуль­тирующее изменение потока было бы равно нулю:

DФ=0,

а следовательно,

и

Таким образом, на величину линейного интеграла

взятого по замкнутому контуру, не влияют никакие токи, располо­женные хотя и сколь угодно близко от контура интегрирования, но не сцепляющиеся с ним.

Мы доказали справедливость закона магнитодвижущей силы:

на примере некоторого частного случая. Так как, однако, в ходе этого доказательства мы не делали никаких допущений, сколько-нибудь ограничивающих общность наших рассуждений, то мы имеем

право утверждать, что и полученный нами результат имеет вполне общее значение, т. е. что всегда имеет место соотношение:

т. е. что линейный интеграл магнитной силы, взятый вдоль любого замкнутого контура, всегда равен произведению полной силы тока, сцепляющегося с этим контуром, на 4p¹).

¹) Покажем, как и з полученного нами закона магнитодвижущей силы:

можно вывести некоторые соотношения, известные из курса физики.

1. Магнитная сила вокруг бесконечного прямолинейного проводника, по которому протекает ток I. Магнитные линии в этом случае имеют форму концентри­ческих окружностей с центром на оси проводника. Подсчитаем величину

для одной из таких окружностей с радиусом а. В этом случае cosa=l Следовательно, можем написать

Так как в силу симметрии величина H будет одна а та же для всех точек денной окружности, то имеем:

или

откуда

H=2I/a

2. Магнитная сила внутри соленоида. Пусть кольцевой соленоид, состоит из n равномерно навитых витков и сила тока в нем пусть будет i. Так как в выражении

мы имеем в виду полное число сцеплений тока с контуром интегрирования, то, беря интеграл по контуру, образуемому осью соленоида, мы должны написать

Так как и в этом случае Н= const и cosa=1, то

или

Следовательно,

§ 18. Вывод точной формулировки закона магнитной цепи.

Применяя полученное в § 17 соотношение, произведем вывод точной формулировки закона магнитной цепи. Выделим в магнит­ном поле трубку магнитной индукции (рис. 51) столь малого попе­речного сечения, чтобы для всех точек любого нормального сече­ния этой трубки можно было считать величину Н постоянной.

Тогда величина потока сквозь любое нор­мальное сечение элементарной трубки будет равна:

j=mHs.

где m — магнитная проницаемость среды и s — поперечное сечение трубки в дан­ном месте. При этом, по самому опре­делению трубки магнитной индукции, величина j будет одна и та же для любого ее сечения.

Осевую линию полученной нами таким образом трубки магнитной ин­дукции примем за контур интегриро­вания, а так как все трубки магнит­ной индукции суть трубки замкнутые, то мы будем иметь:

Преобразуем левую частьэтого равенства. Так как по условию Н перпендикулярно к рассматриваемому сечению трубки в любой ее части, то cosa=1. Далее, из выражения j=mHs получим

H=j/mS.

Следовательно,

В этом выражении I —полный ток, сцепляющийся с контуром интегрирования. Если магнитный поток создается обмоткою из n вит­ков, по которой проходит ток силою i, то мы должны написать:

4pI=4pni.

Следовательно, получаем окончательно):

Это выражение и дает нам в элементарной (ибо мы взяли эле­ментарную трубку магнитной индукции) и вместе с тем в совершен­но точной форме закон магнитной цепи. Очевидна совершенная аналогия этого закона закону Ома: величина, стоящая в числителе (4pni), соответствует ЭДС в законе Ома и называется по аналогии магнитодвижущей силой (F); знаменатель

— величина, прямо

пропорциональная длине и обратно пропорциональная магнитной проницаемости и площади поперечного сечения магнитопровода, соответствует электрическому сопротивлению проводника в законе Ома и называется магнитным сопротивлением (R_m или просто R), Сокращенно пишут:

j=F/R. (12)

Так как физически существование „магнитодвижущей силы" в данной магнитной цепи связано с наличием определенного числа витков, несущих ток, то часто измеряют величину магнитодвижущей силы именно числом ампервитков (F'= ni), относя коэффициент 4p к знаменателю.

Тогда получаем (если i выражено в амперах):