Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Пусть дано n- мерноелинейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис е = (е ₁, е₂, …, е_n). Пусть М – линейное подпространство в L.

Определение 30. Будем говорить, что система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга r с n переменными задаёт в любом n- мерном пространстве L_n (если в нём зафиксирован базис) (n–r)-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30. Если в линейном n- мерном пространстве L_n зафиксирован базис, то любое его к -мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга (n – к).

Доказательство. Пусть в L_n зафиксирован базис е = (е ₁, е₂, …, е_n). Пусть L_к – линейное к -мерное подпространство в L_n. Выберем в L_к любой базис а = (а₁, а₂,…, а_к). Пусть В матричной форме а = е × А, где А = .

Так как а – базис, то ранг матрицы А равен к.

Если d – любой вектор, то d Î L_к Û d = с₁ а₁ + с₂ а₂ + … + с_к а_к, где с₁, с₂, …, с_к независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде d = а × с, где с – столбец параметров. Отсюда d = е× (А ×с). Если х – столбец координат вектора d в базисе е, то d = е×х. Отсюда, е×х = е× (А ×с) и х = А ×с. Распишем в координатном виде.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк. После исключения параметров получится система (n – к) линейных однородных уравнений. Векторы а1, а2, …, ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (а₁, а₂, …, а_к) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (n – к).

Пример. В пространстве L₅ зафиксирован базис е = (е ₁, е₂, е₃, е₄, е₅). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L₃ = < а₁, а₂, а₃ >, если а₁ = (1, –2, 2, 0, 1), а₂ = (0, 4, 7, 0, 1), а₃ = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (а₁, а₂, а₃). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. векторы а₁, а₂, а₃ линейно независимы и подпространство L₃ – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

d Î L₃ Û d = с₁ а₁ + с₂ а₂ + с₃ а₃. Отсюда d Î L₃ Û х₁ = с₁ – 2с₃, х₂ = –2с₁ + 4с₂ + 3с₃, х₃ = 2с₁ + 7с₂ – с₃ , х₄ = 0, х₅ = с₁ + с₂. Если из первого, второго и пятого уравнений выразить с₁, с₂ и с₃ и подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.