Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Пространство решений системы линейных однородных уравнений



Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

(30) Так как столбец свободных членов в матрице А1 этой системы состоит только из нулей, то rang A = rang A1, т.е. система линейных однородных уравнений всегда совместна. В частности она всегда имеет нулевое решение. Рассмотрим множество всех возможных решений системы (30).

Пусть a =(a1, a2, …, an) и b =(b1, b2, …, bn) – любые два из них. Их можно рассматривать, как векторы в арифметическом n-мерном пространстве над полем Р. Пусть l – любой элемент поля Р. Тогда a + b = (a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn), l ×a = (la1, la2, …, lan). Подставим компоненты этих векторов в произвольное s -е уравнение системы (30). Получим Итак, если a и b – любые два решения системы (30) и l – любой элемент поля Р, то a + b и l ×a тоже являются решением этой системы. Но тогда из теоремы 14 следует

Теорема 27. Множество решений системы линейных однородных уравнений с n переменными есть линейное подпространство арифметического пространства Аn.

Теорема 28. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений равна nr, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы.

Доказательство. Пусть L – пространство решений системы (30). Тогда L Ì Аn. Пусть a = (a1, a2, … ar, ar+1, …, an) – произвольное решение системы. Пусть (ar+1, …, an) – набор свободных неизвестных, соответствующий этому решению. Множество всех возможных наборов свободных неизвестных есть арифметическое (nr)-мерное пространство Аn–r. Зададим отображение j: L ® Аn–r по правилу

a = (a1, a2, … ar, ar+1, …, an) ® j (a)= (ar+1, …, an).

Покажем, что j – изоморфизм (определение 24). Для этого нужно проверить три условия.

1. Покажем, что j – взаимнооднозначное отображение. Решению a = (a1, a2, … ar, ar+1, …, an) соответствует только один набор (ar+1, …, an), следовательно, j – однозначное отображение. Обратно, если задать элемент (ar+1, …, an) из Аn–r, то по теореме Крамера найдётся только один набор (a1, a2, … ar) искомых неизвестных, т.е. каждый элемент j (a) из Аn–r соответствует единственному элементу из L.

2. j(l a) = (lar+1, …, lan) = (ar+1, …, an) = l×j (а).

3. j (а + в) = (ar+1 + br+1, …,an + bn) = (ar+1, …, an) + (br+1, …, bn) = j (а) + j (в).

Итак, пространство решений системы линейных однородных уравнений изоморфно арифметическому (nr)-мерному пространству. Следовательно, размерность L равна (nr).

Определение 29. Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений.

Так как при изоморфизме базис пространства Аn–r соответствует базису пространства L, то для того. чтобы найти фундаментальную систему решений для системы (30), достаточно выбрать (nr) линейно независимых наборов свободных неизвестных и для каждого из них найти решение данной системы.

Следствие. Если а1, а2, …, аn–r фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений (30) и С1, С2, …, Сn–r – произвольные элементы поля Р, то С1 а1 + С2 а2 + … + Сn–r аn–r – общее решение этой системы.





Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 314 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...