Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах

Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е ₁, е₂, …, е_n) и е¹ = (е ₁¹, е₂¹, …, е_n¹). Пусть

(23)

Если ввести матрицу Т = ,

то систему (23) можно записать в матричном виде е1 = е×Т (24).

Матрица Т называется матрицей перехода от базиса е к базису е¹. Так как векторы е ₁¹, е₂¹, …, е_n¹ линейно независимы, то матрица Т невырожденная.

Если вектор а в базисе е имеет координаты х = (a₁, a₂, …, a_n)^Т, а в базисе е¹ его координаты х¹ = (b₁, b₂,…, b_n)^Т, то а = е×х и а = е¹×х¹. отсюда е×х = е¹×х¹. Используя формулу (24), получим е×х = (е×Т)× х¹ = е× (Т×х¹). Отсюда х = Т×х¹ (25). Формула (25) даёт связь координат одного и того же вектора в разных базисах. Её называют формулой преобразования координат.

Пример. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃, е₄) – базис в пространстве L₄. Пусть е₁¹ = 2 е₁ – 3 е₃, е₂¹ = е₂ + е₄, е₃¹ = 4 е₁ + е₂ – е₄, е₄¹ = е₂ + 3 е₃ – е₄; е₁¹¹ = е₁ + е₂, е₂¹¹ = е₁ – е₃, е₃¹¹ = е₃ + е₄, е₄¹¹ = е₃ – е₄ . Покажите, что е¹ = (е ₁¹, е₂¹, …, е_n¹) и е¹¹ = (е ₁¹¹, е₂¹¹, …, е_n¹¹)являются базисами в L.. Вектор а в базисе е¹ имеет координаты (1, 4, –2, 5). Найдите координаты этого вектора в базисе е¹¹.

Решение. Составим определители матриц перехода Т₁ и Т₂ от базиса е к е¹ и е¹¹ соответственно.

| Т1 |= ,

| Т2 | = ,

| Т1 |= =–12

| Т ₂ | = = 2. Так как матрицы Т₁ и Т₂ невырожденные, то е¹ и е¹¹ – базисы.

Из формулы (25) следует х = Т₁ × х¹, х = Т₂×х¹¹. Отсюда Т₁×х¹ = Т₂×х¹¹, х¹¹ = (Т₂^-1×Т₁) × х¹.

Найдём Т₂^-1. Для этого вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы Т₂.

А₁₁= 0, А₁₂ = – = 1, А₁₃ = = 1, А₁₄ = – = 1, А₂₁ = – , А₂₂ = = –2, А₂₃ = – = –1, А₂₄ = = –1, А₃₁ = = 0, А₃₂ = – = 0, А₃₃ = = 1, А₃₄ = – = –1, А₄₁ = – = 0, А₄₂ = = 0. А₄₃ = – = 1, А₄₄ = = –1. Используя найденные алгебраические дополнения, получим Т₂^-1 = . Следовательно, = = . Итак, в базисе е¹¹ данный вектор имеет координаты ( –10; 0; –17).