Определение и примеры линейных пространств

Пусть даны множество элементов L и поле Р. Элементы из L будем называть векторами. В качестве поля Р будем использовать поле действительных (иногда – комплексных) чисел. Векторы будем обозначать а, в, …; элементы из Р - a, b, l, …

Определение 13. Множество элементов L называется линейным (векторным) пространством над полем Р, если на L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение их на элементы поля Р, удовлетворяющие следующим условиям:

1. L замкнуто относительно обеих операций;

2. а + в = в + а для любых а и в из L.;

3. (а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а,в и с из L;

4. $ 0 Î L такой, что а + 0 = а для любого а Î L;

5. для любого а Î L существует (- а) Î L такой, что а + (- а) = 0;

6. 1× а = а для любого а Î L;

7. (a×b)× а = a×(b× а) для любого а Î L и любых a, b Î Р;

8. (a + b)× а = a× а + b× а для любого а Î L и любых a, b Î Р;

9. a×(а + в) = a× а + a× в для любых а и в из L и любого a Î Р (дистрибутивный закон).

Примеры: I. L = í 0 ý, Р – любое поле.

II. Множество всех коллинеарных геометрических векторов.

III. Множество всех компланарных геометрических векторов.

IV. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

V. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными) коэффициентами.

VI. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами.

VII. Множество всех действительных непрерывных на отрезке [ ав ] функций.