Практическая работа № 17

«Аксиомы стереометрии и следствия из них»

Цель урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Аксиомы стереометрии и следствия из них».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Аксиомы стереометрии и следствия из них», решить задачи.

3) Формировать умения прогнозировать собственную деятельность, умение организовать свою деятельность и анализировать ее.

Теоретический материал

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости.

рис. 1	рис. 2	рис. 3

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

	А В (точки А, В, С лежат в плоскости ) С
рис. 4

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

	АB Прямая АВ лежит в плоскости
рис. 5

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

	а = М Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.
рис. 6

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

	= a и пересекаются по прямой а.
рис. 7

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

В

С

А

α

а

Пример 1. Доказать, что через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и при том только одна.

Дано: а, А

Доказать: (а, А)

Доказательство: Отметим, что теорема содержит два утверждения:

1. о существовании плоскости;

2. о единственности плоскости.

1. отметим на а точки В и С. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Вопрос учащимся: Если три точки не лежат на одной прямой, какой можно сделать вывод? По аксиоме 1 через А, В, С проходит плоскость.

2. т. к. В, С α, то и прямая а лежит в плоскости α. Все плоскости проходящие через три точки будут совпадать с плоскостью, по аксиоме 1 плоскость единственна. ч.т. д.

а

Пример 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

В

А

Дано: а∩в

α

в

Доказать: (а,в)

Доказательство: Отмечаем на в точку В.

Через точку В и а по задаче 1 проходит

плоскость α. По Аксиоме 2 в α, т. к. А, В α.

ч. т. д.