Теоретико-числовые преобразования

1, при n= 0, N 1, если иначе

Решаем уравнения

aⁿ =

Могут быть найдены решения в кольце целых чисел по модулю M.

Например, рассмотрим кольцо по модулю 5, т. е. работаем только с числами 0, 1, 2, 3, 4.

M=5

Могут быть определены все арифметические операции и результаты, не выходящие за пределы кольца целых чисел.

Пояснение Например если мы выполняем сложение 3+3 =6. То в этой таблице на пересечении соответствующей строки и соответствующего столбца будет 1. Это объясняется тем, что результат сложения делится на модуль (в данном случае =5.) и остаток этого деления заносится в таблицу.(в данном случае остаток =1)

Например, таблица для сложения:

+
3

Рассмотрим функцию Эйлера:

Функция Эйлера - равна количеству чисел, меньших M и не имеющих с ним общих множителей. Следовательно, функция Эйлера от простого числа будет равна самому этому числу минус 1, т.е.

j(q1;q2) = j(q1) ∙ j(q2) – фундаментальное значение в теории чисел.

Теорема Ферма-Эйлера.

В кольце целых чисел всегда существует такое основание a, при котором:

Если a,M не имеют общих множителей.

(a,M) =1 наибольший общий делитель =1.

Тогда имеет место соотношение:

(mod M)

a — основание, M — модуль, N — количество отсчетов.