Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели

Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели.

Дисперсионный анализ предназначен для проверки значимости нормально распределенной случайной величины У, называемой результативным признаком.

Исследуется зависимость результативного признака у от фактора А, который имеет m-уравнений A1, A2…Am. Рассматриваем m-независимых, нормально распределенных случайных величин с одинаковой дисперсией σ².

Матрица наблюдений:

,

размер m на n, где y_ij-результат i-го наблюдения при Аj уровне фактора A. - среднее при Aj уровне. - общее среднее.

Разложим общую вариацию y на составляющие:

, где последняя составляющая равна 0.

, то есть Qобщ=Qa+Qост.

Qобщ – общая суммарная вариация У, равная сумме квадратов отклонений наблюдаемых значений.

Qа – факторная вариация У, обусловленная влиянием уровней фактора A на У.

Qост – остаточная вариация у, обусловленная влиянием а у неучтенных факторов.

Так как при этом (Qобщ) = mn-1

(Qa)=m-1

(Qост)=mn-m, то (mn-1)=(m-1)+(mn-m)

Так как (Qобщ)= (Qa)+ (Qост), то согласно теореме Кохрана, Qa и Qост независимы между собой.

Qa и Qост имеют х-распределение с

В предположении отсутствия влияния фактора A, статистика критерия

Для проверки гипотезы строят ПКО и Fкр(α,υ₁,υ₂)

Гипотеза отвергается, если ІFнІ>Fкр

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

Yij-наблюдаемое значение результативного признака, μ-генеральная средняя, aj-эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора:

1) для модели М1 (фактор имеет фиксированные уровни) aj-фиксированные величины, удовлетворяющее условию

2) для модели M2 (фактор имеет случайнее уровни) a_j – случайные величины, удовлетворяющие: M(a_j)=0,

M(a_j1a_j2)=0 для a_j1 не равного a_j2,

M(a_jε_ij)=0

Ma_j²=σ² – факторная дисперсия

ε_ij-случайные величины (остатки), отражающие влияние на Y всех неконтролируемых факторов,

M(ε_ij)=0

M(ε_i1j1ε_i2j2)=0 для i1 не равного i2, j1 не равного j2

M(ε²)= σ²