Основные правила дифференцирования

Производная – этопредел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием

,

где – приращение функции на величину .

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные временно постоянны. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом:

Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по переменной y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения: .

Выполнение заданий предполагает безусловное знание следующих основных правил дифференцирования.

1. Производная суммы дифференцируемых функций равна сумме производных:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

,

где C – const.

3. Если и - дифференцируемые функции, то существует производная их произведения, которая вычисляется по формуле:

.

4. Если и - дифференцируемые функции, то существует производная частного, которая вычисляется по формуле:

, .

Для эффективного дифференцирования сложных функций полезна таблица 3.1. основных элементарных функций, аргумент которых есть тоже функция. Итак, пусть , где . Тогда

1. , C – const	2. , n – const
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13. , , , a – const	14.
15. , , , a – const	16.

Таблица 3.1.