Определение неизвестной функции распределения

Пусть мы имеем дело с непрерывной случайной величиной , значения которой получены из наблюдений. Разобьем диапазон наблюдаемых значений на интервалы ] X₀, X₁ [, ] X₁, X₂ [,..., ] X_k-1, X_k [ одинаковой длины . Пусть m_i - число наблюдаемых значений , попавших в i -й интервал. Разделив m_i на общее число наблюдений n, получим частоту , соответствующую i -му интервалу: , причем . Составим следующую таблицу:

Номер интервала	Интервал	mi
	] X0, X1 [	m1
	] X1, X2 [	m2
...	...	...	...
k	] Xk-1, Xk [	mk

которая называется статистическим рядом. Эмпирической (или статистической) функцией распределения случайной величины называется частота события, заключающегося в том, что величина в результате опыта примет значение, меньшее x:

На практике достаточно найти значения статистической функции распределения F^*(x) в точках X₀, X₁,..., X_k, которые являются границами интервалов статистического ряда:

(65)

Cледует заметить, что F*(x)=0 при x<X₀ и F*(x)=1 при x>X_k. Построив точки M_i [X_i; F*(X_i)] и соединив их плавной кривой, получим приближенный график эмпирической функции распределения (рис. 15). Используя закон больших чисел Бернулли, можно доказать, что при достаточно большом числе n испытаний с вероятностью, близкой к единице, эмпирическая функция распределения F*(x) отличается сколь угодно мало от неизвестной нам функции распределения F(x) cлучайной величины

Часто вместо построения графика эмпирической функции распределения поступают следующим образом. На оси абсцисс откладывают интервалы ] X₀, X₁ [, ] X₁, X₂ [,..., ] X_k-1, X_k [. На каждом интервале строят прямоугольник, площадь которого равна частоте , соответствующей данному интервалу. Высота h_i этого прямоугольника равна , где - длинна каждого из интервалов. Ясно, что сумма площадей всех построенных прямоугольников равна единице.
Рассмотрим функцию , которая в интервале ] X_i-1, X_i [ постоянна и равна h_i. График этой функции называется гистограммой. Он представляет собой ступенчатую линию (рис. 16). С помощью закона больших чисел Бернулли можно доказать, что при малых и больших n с практической достоверностью как угодно мало отличается от плотности распределения непрерывной случайной величины .

Пример. Измерен диаметр у 270 валов хвостовика. Значения диаметра (в см) оказались в диапазоне 66-90 см. Разбив этот диапазон на интервалы диной 2 см ( =2), получим статистический ряд (см. таблицу)

Номера интервалов	Интервалы	mi
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
	]66,68[		0,015	0,008
	]68,70[		0,045	0,022
	]70,72[		0,090	0,045
	]72,74[		0,152	0,076
	]74,76[		0,185	0,092
	]76,78[		0,196	0,098
	]78,80[		0,144	0,072
	]80,82[		0,096	0,048
	]82,84[		0,048	0,024
	]84,86[		0,019	0,009
	]86,88[		0,007	0,004
	]88,90[		0,003	0,002
			1,000

Построим гистограмму и эмпирическую функцию распределения. Подсчитанные частоты приведены в столбце (4), а значения высот h_i прямоугольников гистограммы - в столбце (5). Гистограмма изображена на рис. 17.

Значения эмпирической функции распределения в граничных точках интервалов вычислены по формуле (65) и приведены в следующей таблице:

x
F*(x)		0,015	0,060	0,150	0,302	0,487	0,683	0,827	0,923	0,971	0,990	0,997	1,000

Так, например,

График функции F*(x) изображен на рис.18.