Приложение теории вероятности к обработке результатов измерений

Пусть для определения неизвестной физической постоянной а производится n независимых измерений, причем считается, что грубые и систематические ошибки отсутствуют (см. § 6, п. 2). Возможный результат каждого из n измерений есть случайная величина, которую мы обозначим через (i — номер измерения). Так как каждое измерение не зависит от результатов других измерений, то мы имеем n случайных независимых величин . Обозначим через x₁, x₂,..., x_n фактически полученные результаты n измерений величины а. Таким образом, x_i есть одно из возможных значений .
На основании закона больших чисел Чебышева (см, § 5, п. 2) мы можем утверждать, что с практической достоверностью для достаточно большого числа n измерений средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения физической постоянной сколь угодно мало, т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, имеет место приближенное равенство

Оценим точность этого приближенного равенства. Для этого прежде всего заметим, что в силу основного закона ошибок (см. § 6, п. 2) каждый возможный результат измерения есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с одним и тем же математическим ожиданием, равным истинному значению а измеряемой величины: (i=1, 2,..., n). Далее будем предполагать, что все измерения проводятся с одинаковой степенью точности (равноточные измерения). Поэтому дисперсии всех случайных величин должны быть одинаковыми, т. е. .
Сначала рассмотрим случай оценки неизвестного значения а, предполагая известным значение . Так как возможный результат i -гo измерения есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с математическим ожиданием и дисперсией , то случайная величина также имеет нормальное распределение с тем же математическим ожиданием , и средним квадратическим отклонением (см. § 4, п. 3). Поэтому плотность распределения вероятностей для средней арифметической имеет вид

где параметры распределения равны а и
Следовательно, вероятность того, что при n измерениях мы получим такую совокупность значений , что при любом интервал будет содержать а, на основании формулы (33) определяется соотношением

(58)

Интервал имеет случайные границы и . Соотношение (58) справедливо для любого значения . Вероятность не зависит от конкретных значений, которые принимают случайные величины и при возрастании числа измерений n в силу свойства функции Ф(х) возрастает (см. § 3, п. 4). Соотношение (58) показывает, что каковы бы ни были значения x₁, x₂,..., x_n полученные при измерении, имеет место формула

(59)

где . Величина называется средней выборочной. Формулой (59) в большинстве случаев пользоваться нельзя, так как обычно значение неизвестно. Поэтому рассмотрим случай, когда обе величины а и неизвестны.
Пусть случайная величина s² определена соотношением

(60)

где . Можно показать, что величина s² имеет математическое ожидание, равное , и дисперсию, равную , т.е.

(доказательство не приводим ввиду громоздкости вычислений). Применим к случайной величине s² вторую лемму Чебышева (см. § 5, п. 1):

где . Подставляя значения M(s²) и D(s²), получим

(61)

Соотношение (61) показывает, что если , то , т.е. s² стремится по вероятности к .
Рассмотрим величину

Так как есть одно из возможных значений s², то при достаточно больших n с практической достоверностью можно утверждать, что имеет место приближенное равенство

(62)

где . Величину называют выборочной дисперсией.
На практике для оценки вероятности того, что истинное значение а измеряемой величины лежит в интервале , пользуются формулой (59), где вместо подставляют ее приближенное значение , найденное по формуле (62).
Итак, для достаточно больших значений n имеем

(63)

где

(64)

Интервал называется доверительным интервалом, а вероятность — надежностью *.

Пример. Для определения процентного содержания хрома в стали были проделаны 34 измерения, результаты которых сведены в таблицу: № xi   4,505       4,524 0,019 0,000361   4,492 -0,013 0,000169   4,5 -0,005 0,000025   4,493 -0,012 0,000144   4,515 0,01 0,0001   4,504 -0,001 0,000001   4,508 0,003 0,000009   4,517 0,012 0,000144   4,513 0,008 0,000064   4,519 0,014 0,000196   4,511 0,006 0,000036   4,485 -0,02 0,0004   4,497 -0,008 0,000064   4,502 -0,003 0,000009   4,507 0,002 0,000004   4,501 -0,004 0,000016   4,501 -0,004 0,000016 № xi   4,507 0,002 0,000004   4,502 -0,003 0,000009   4,497 -0,008 0,000064   4,485 -0,02 0,0004   4,511 0,006 0,000036   4,519 0,014 0,000196   4,513 0,008 0,000064   4,517 0,012 0,000144   4,508 0,003 0,000009   4,504 -0,001 0,000001   4,515 0,01 0,0001   4,493 -0,012 0,000144   4,5 -0,005 0,000025   4,492 -0,013 0,000169   4,424 0,019 0,000361   4,505     153,186   0,006968 Найти доверительный интервал с надежностью =0,9973 Решение: Здесь n=34. Используя табличные данные, находим При надежности =0,9973 по формуле (63) получим Cледовательно, Из табл. II Приложения найдем В данном случае доверительный интервал Итак с надежностью =0,9973 процентное содержание хрома в стали находится в интервале ] 4,498; 4,513 [.

Расчет по формуле (63) дает удовлетворительные по точности результаты при .