Линейные функции случайных величин

Пусть - нормально распределенная случайная величина с параметрами и . Тогда, если A и B - постоянные, то случайная величина , линейно зависящая от , также нормально распределена, причем *

Докажем это утверждение. Пусть для простоты B>0. Отценим вероятность неравенств . Ясно, что эти неравенства равносильны неравенствам , т.е.

Поэтому

Так как величина распределена нормально, то

Проведем в этом интеграле замену переменной, полагая x=(y-A)/B
Тогда dx=dy/B и, следовательно,

Итак,

Это равенство показывает, что случайная величина имеет нормальное распределение, причем и

Имеет место и более общее утверждение. Пусть - постоянные, а - нормально распределенные попарно независимые случайные величины, причем

Тогда случайная величина

также имеет нормальное распределение, причем

В частности, если

при любом i, то случайная величина

распределена нормально, причем

* Последнее утверждение можно получить просто из свойств математического ожидания и дисперсии. Так, например,