![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика и его высота
, образуют систему двух случайных величин
Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность
совместного выполнения неравенств
и
, где x и y - любые действительные числа.
Функция двух переменных
![]() | (34) |
определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин
Будем рассматривать и
как декартовы координаты точки на плоскости. Точка
может занимать то или иное положение на плоскости
. Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка
попадает в область
, изображенную на рис. 13.
Двумерная случайная величина называется дискретной, если
и
- дискретные величины.
Пусть возможные значения и
образуют, например, конечные последовательности x1, x2,..., xn и y1, y2,..., ys. Возможные значения двумерной случайной величины
имеют вид (xi, yj), где i=1, 2,..., n; j=1, 2,..., s. Обозначим через pij вероятность того, что
Функция распределения F(х, у) имеет вид
где двойная сумма распространена на те i и j, для которых xi<x и yj<y.
Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины
, а первый столбец — возможные значения
. В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:
![]() ![]() | -1 | 0 | 1 |
0,1 | p11=0,05 | p12=0,20 | p13=0,30 |
0,2 | p21=0,10 | p22=0,20 | p23=0,15 |
Сумма всех вероятностей
Две дискретные случайные величины и
называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение
Пример 1. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через число очков, выпавшее на первой кости, а через
— на второй; тогда
— Двумерная дискретная величина. Покажем, что величины
и
независимы. (Решение)
Двумерная величина называется непрерывной, если существует такая непрерывная неотрицательная функция
, двух переменных, что вероятность того, что точка
содержится в некоторой области
плоскости
, равна двойному интегралу от функции
по области
:
![]() | (35) |
Функция называется плотностью распределения вероятностей системы двух величин
и
. Отсюда, в частности, следует, что если область
имеет вид, изображенный на рис. 13, то функцию распределения системы случайных величин можно записать следующим образом:
![]() | (36) |
Непрерывные случайные величины и
называются независимыми, если
, где
и
- соответственно плотности распределения вероятностей случайных величин
и
. В этом случае
где F1(x) и F2(y) — соответственно функции распределения величин и
[см. формулу (22)].
Зная функцию распределения F(х,у) двумерной случайной величины , легко найти как функцию распределения, так и плотность распределения каждой из случайных величин
и
, в отдельности.
Действительно, пусть F1(x) - функция распределения случайной величины . Тогда
. Так как в этом случае
может принимать любое значение, то ясно, что
Следовательно, по формуле (36) имеем
Дифференцируя последнее равенство по x, согласно правилу дифференцирования интеграла по переменной верхней границе получим
![]() | (37) |
Аналогичным образом получаем
и, следовательно,
![]() | (38) |
Таким образом, чтобы получить плотность распределения одной из составляющих двумерной случайной величины, надо проинтегрировать в границах от до
плотность распределения системы
по переменной, соответствующей другой случайной величине.
Пример 2. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения
Найти:
1) вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 14;
2) функцию распределения F(х,у);
3) плотности распределения каждой величины и
в отдельности. (Решение)
По определению двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин
и
имеет вид
где ,
, а R - некоторая постоянная (см. § 9, п. 2). Можно показать [используя формулы (37) и (38)], что каждая из величин
и
распределена нормально:
На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. В частности, если и
независимы, то
. Отсюда следует, что R=0, и, cледовательно,
Нетрудно убедиться в том, что справедливо и обратное утверждение: если R=0, то и
— независимые случайные величины.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 536 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!