Математическое ожидание случайной величины и его свойства

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

m₁ - число подшипников с внешним диаметром х₁,
m₂ - число подшипников с внешним диаметром х₂,
....................................
m_n - число подшипников с внешним диаметром х_n,

Здесь m₁+m₂+...+m_n=N. Найдем среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х₁, х₂,..., х_n, c соответствующими вероятностями p₁=m₁/N, p₂=m₂/N,..., p_n=m_n/N, так как вероятность p_i появления подшипника с внешним диаметром x_i равна m_i /N. Таким образом, среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

Значения	х1	х2	...	хn
Вероятности	p1	p2	...	pn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *

(39)

Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

(40)

При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.

Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.
Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

Доказательство. Используя соотношение (39), имеем

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(41)

4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:

(42)

* в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x₁, x₂,...,x_n,..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда

причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

** Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину

, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .

2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения

Значения	-0,2	-0,1	0,1	0,2
Вероятности p(x)	0,25	0,25	0,25	0,25

Значения	-50	-40	40	50
Вероятности p(x)	0,25	0,25	0,25	0,25

Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:

Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:

(43)

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁, x₂,..., x_n соответственно с вероятностями p₁, p₂,..., p_n. Очевидно, случайная величина принимает значения

с теми же вероятностями p₁, p₂,..., p_n. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем

(44)

Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению

(45)

Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем

Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим

Следовательно,

Откуда окончательно находим

(46)

Рассмотрим теперь свойства дисперсии.

1°. Дисперсия постоянной равна нулю.

Доказательство. Пусть . По формуле (46) имеем

так как математическое ожидание постоянной есть эта постоянная:

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(47)

Доказательство. На основании соотношения (46), можно записать

Так как

и

то

3°. Если и - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(48)

Доказательство. По формуле (46) имеем

Но

Так как и - независимые случайные величины, то

Следовательно

Далее,

поэтому

Таким образом

Следовательно

Замечание. Свойство 3° распространяется на любое конечное число попарно независимых случайных величин:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

(49)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .

Пример 1. Cлучайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости (см. § 3, п.1, пример 1). Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение

Решение:

Используя формулы (39), (44) и (49) соответственно получим

Пример 2. Cлучайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p (см. § 3, п.1, пример 2). Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Величина принимает два значения 0 и 1 соответственно с вероятностями q=1-p и p. Поэтому по формулам (39) и (44) находим

Пример 3. Cлучайная величина m - число наступления события A в n независимых опытах, причем вероятность наступления события A в каждом опыте равна p. Найти M(m), D(m) и

Решение:

Пусть - случайная величина, принимающая значения 1 или 0 в зависимости от того, происходит или не происходит событие A в i -м опыте. Тогда . Ясно, что попарно независимы. Из результата примера 2 следует, что , для любого i. На основании свойства 3° для математического ожидания и дисперсии имеем

Пример 4. Пусть - случайная величина распределенная по закону Пуассона

[См. формулу (17)]. Найти:

Решение:

Используя соотношение (39), получим

Так как

Пример 5. Пусть - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью

[См. формулу (27)]. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение cлучайной величины.

Решение:

По формулам (40), (45) и (49) находим

Пусть - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и (см. § 3, п.5). Найдем и Так как

,то по формуле (40) находим

Проведем в интеграле замену переменной, полагая

тогда

Следовательно,

Но

[См. формулу (29)]. Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций

Следовательно,

Дисперсию находим по формуле (45)

(вычисление интеграла не приводим).

Итак,

Таким образом, параметры a и для нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

* Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как

Здесь мы воспользовались тем, что постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.