Общие сведения о скалярных и векторных полях. Сведения из векторного анализа:

Сведения из векторного анализа:

Определения градиента:
1. С помощью оператора «набла»: ,

.

В декартовых координатах получаем: .

2. С помощью производной по направлению .
3. Интегральное представление градиента имеет вид:

.

Определение дивергенции:

определение с помощью оператора : ,

в декартовых координатах получаем: .

интегральное определение: ,

при этом имеет место теорема Остроградского-Гаусса - одна из важнейших теорем векторного анализа .

Определение ротора:

определение с помощью оператора : .

Интегральное определение: , . В декартовых координатах получаем:

Формулы с градиентом, дивергенцией и ротором:

,

выражение для полного дифференциала через градиент: , градиент сложной функции:

,

, .

Способы описания скалярных и векторных полей:

На первый взгляд для описания распределения физических величин в пространстве достаточно использовать скалярные поля (под скалярными полями мы будем понимать числовые поля, или точнее распределения величин, инвариантных относительно поворотов и отражений систем координат).

Однако в физические законы часто входят производные от скалярных величин по координатам и эти производные, строго говоря, уже не являются скалярами, так как их знаки зависят от отражения координатных осей. Этот факт не случаен и связан с тем, что они являются компонентами векторов.

Рассмотрим пример, рис.2. Пусть заданы линии уровня, это могут быть топографические данные о высоте, линии равной температуры, линии потенциала электростатического поля и др.

Если нас интересует быстрота изменения физической величины в данной точке пространства, то необходимо вычислить производную по направлению .

Однако выясняется, что такая производная в зависимости от выбранного направления может меняться от минимального до максимального значения.

Выбрав произвольно ориентированную систему координат и вычислив производные , мы можем полностью описать скорость изменения скалярного поля в заданной точке с помощью вектора градиента: . Действительно производная по направлению теперь равна

..

Таким образом, градиент равен производной вдоль направления наибыстрейшего возрастания функции, и для описания скорости изменения скалярного поля необходимо использовать векторные величины.

При аналогичном исследовании скорости изменения векторного поля необходимо уже вычислить девять производных , образующих тензор второго ранга (тензором первого ранга является вектор, нулевого – скаляр).

Основные свойства этого тензора раскрываются с помощью двух дифференциальных операторов – дивергенции и ротора, которые определяют плотность двух основных видов источников физических полей.

В электродинамике рассматривают два простейших типа полей: первый со «стоками» и «истоками» (дивергенция отлична от нуля, источники «типа заряд»), рис.3а, и второй тип - это вихревые поля (ротор отличен от нуля, источники «типа ток»), рис.3б. К примерам таких полей относится статическое гравитационное поле, электростатическое поле и др.

Имеет место интегральная теорема Остроградского-Гаусса, позволяющая свести объемный интеграл к поверхностному интегралу, определяющему поток поля:

В соответствии с теоремой Стокса поверхностный интеграл от ротора можно свести к циркуляции поля вдоль произвольного контура:

.

Если ротор поля отличен от нуля, а дивергенция равна нулю, то такие поля называются вихревыми. Пример вихревого поля – поле вектора магнитной индукции.

Вопросы и задания для контроля:

Ø Вычислите .

Ø Вычислите .

Ø Вычислите для непрерывной функции .

Ø Как связаны между собой градиент и производная по направлению?

Ø Что такое поток вектора через поверхность?

Ø Вычислите .

Ø Приведите пример поля, у которого дивергенция не равна нулю, а ротор равен нулю. Наоборот?

Ø Вычислите .

Ø Сформулируйте теорему Остроградского-Гаусса.

Ø Сформулируйте теорему Стокса.