Задача досягнення нечітко визначеної цілі

(підхід Белмана-Заде)

Нехай Х – універсальна множина альтернатив, тобто універсальна сукупність вибору ОПР. Нечіткою ціллю в Х будемо називати деяку нечітку підмножину множини Х. Позначимо її G. Описується нечітка ціль функцією належності . Чим більше степінь належності альтернативи х до нечіткої множини цілі , тобто чим більше значення , тим більше степінь досягнення цієї цілі, якщо вибрати альтернативу х за розв’язок. Нечіткі обмеження, або множина допустимих альтернатив, також описуються нечіткими підмножинами множини Х. Позначимо їх C ₁, C ₂, …, C_m. Будемо вважати, що нам відомо функції належності цих нечітких множин.

Розв’язати задачу означає досягнути цілі й задовольнити обмеженням, причому у даній нечіткій постановці слід говорити не просто про досягнення цілі, а про її досягнення з тим чи іншим степенем. Необхідно також враховувати й степінь виконання обмежень.

Основним в підході Белмана-Заде до розв’язання цієї задачі, є те, що цілі прийняття рішень i множина альтернатив розглядаються як рівноважні нечіткі підмножини деякої універсальної множини альтернатив. Це дозволяє визначити рішення задачі у відносно простому вигляді. А саме, у підході Белмана-Заде вимоги задачі враховуються таким чином.

Нехай, наприклад, деяка альтернатива х забезпечує досягнення цілі (інакше – відповідає цілі) зі ступенем і задовольняє обмеженням (або є допустимою) зі степенем . Тоді нечітким розв’язкомD задачі досягнення нечіткої цілі називається переріз нечітких множин цілі та обмежень, тобто . Це означає, що розв’язок задачі нечітко визначеної цілі ми також отримуємо у вигляді деякої нечіткої підмножини універсальної множини альтернатив Х. Якщо переріз множин визначати за означенням 4.7, то функція належності розв’язку буде мати вигляд:

.

У випадку коли ми маємо декілька цілей та декілька обмежень, нечіткий розв’язок описується функцією належності:

.

П р и к л а д 5.1. Нехай задана універсальна множина альтернатив . На цій множині подані такі множини цілі та обмежень:

G – “ х повинен бути близьким до 5”,

– “ х не повинен бути близьким до 4”,

– “ х повинен бути близьким до 6”.

Функції належності цілі та обмежень подані у таблиці:

Тоді функція належності нечіткого розв’язку задачі, згідно підходу Белмана-Заде, така:

.

Вочевидь, при такому зображенні рішення залишається невизначеність, а саме: ми отримуємо не одну альтернативу, а деяку нечітку множину альтернатив. Якщо ОПР не може опрацьовувати таке подання розв’язку, то можна застосувати один із найбільш розповсюджених у літературі способів вибору єдиної альтернативи, який полягає у виборі альтернативи, яка має найбільшу степінь належності до нечіткого розв’язку, тобто альтернативи, яка реалізує

.

Такі альтернативи називаються максимізуючими рішеннями.

У наведеному вище прикладі максимізуючим рішенням буде число 5, оскільки воно належить до нечіткого розв’язку із максимальним степенем.

П р и к л а д 5.2. Розв’язати задачу досягнення нечітко визначеної цілі, якщо ціль та обмеження подано такими функціями належності:

Розв’язування

Для розв’язування цієї задачі будемо використовувати підхід Белмана-Заде:

.

Для зручності зобразимо графіки функцій належності цілі та обмежень (див. рис.5.1).

x

μ (x)

μC (x)

μG (x)

A

μD (x)

Рис. 5.1. Графічне розв’язування задачі досягнення нечітко визначеної цілі

Тут товстою лінією показано функцію належності нечіткого розв’язку D задачі. Опишемо її аналітично. Для цього знайдемо точки перетину функцій належності цілі і обмеження. складемо рівняння:

Розв’язуючи його отримуємо координати двох точок перетину: x ₁ = 0 та x ₂ = 4,5. Тепер ми можемо записати аналітичний вигляд функції належності рішення:

Максимізуючим рішенням буде альтернатива x ₂ = 4,5, її степінь належності нечіткому рішенню .

Розглянута вище ситуація прийняття рішень характеризувалася тим, що і цілі і обмеження були підмножинами однієї і той же самої універсальної множини. Більш детальною є постановка задачі, в якій нечіткі цілі й обмеження є підмножинами різних універсальних множин. Розглянемо її.

Нехай, як і раніше, Х – універсальна множина альтернатив, й нехай подано однозначне відображення , значення якого (елементи множини Y) можна розуміти як реакції деякої системи на вихідні дії х Î Х або як деякі оцінки виборів відповідних альтернатив.

Нечітка ціль при цьому описується у вигляді нечіткої підмножини універсальної множини реакцій (оцінок) Y, тобто у вигляді функції , а обмеження є нечіткими підмножинами вихідної множини Х з функціями належності , .

Задача при цьому зводиться до першої постановки (тобто до випадку, коли ціль – нечітка підмножина Х) таким чином.

Визначимо нечітку множину альтернатив станів , які забезпечують досягнення даної мети . Ця множина є прообразом нечіткої множини при відображенні j, тобто

.

Після цього вихідна задача розглядається як задача досягнення нечіткої цілі при вихідних нечітких обмеженнях.

О з н а ч е н н я 5.1. Нехай G й C нечіткі множини мети (в Y) та обмежень (в Х). Нечітким розв’язком задачі досягнення цілі G при обмеженнях С назвемо максимальну множину D, яка має такі властивості:

1. (розв’язок є допустимою альтернативою);

2. (досягнення нечіткої цілі), де – образ D при нечіткому відображенні .

У випадку, коли подано нечітке відображення з множини альтернатив у множину реакцій або оцінок, нечіткий розв’язок ми можемо визначити, користуючись визначенням прообразу, яке введено у попередньому розділі.

Нехай Х – універсальна множина альтернатив, Y – універсальна множина оцінок, й нехай подане нечітке відображення Х в Y, функція належності якого . Кожній альтернативі це відображення ставить у відповідність її нечітку оцінку. Нечіткі обмеження описуються функцією належності .

За теоремою 4.6. прообраз D визначається таким чином:

,

,

Нечіткий розв’язок тоді описується функцією належності

або

Якщо необхідно вибрати конкретну альтернативу, то за розв’язок задачі, можна, наприклад, обрати ту, яка з максимальним степенем належить до нечіткого розв’язку , тобто альтернативу, яка реалізує величину . Однак, цей вибір не можна вважати достатньо обґрунтованим, існують також інші способи обирання.

Отже, підхід Белмана-Заде спирається на можливість симетричного опису множини цілі і обмежень у вигляді нечітких підмножин однієї i тієї ж універсальної множини. Це дозволяє визначити розв’язок задачі у досить простому вигляді. Однак, не всяку задачу прийняття рішень можна сформулювати у такому вигляді.

Зауваження. Іноді важливість цілей і обмежень враховують за допомогою вагових коефіцієнтів. Тоді рішення задачі записується таким чином:

,

де – вагові коефіцієнти функцій цілі і обмежень відповідно, але такий підхід не можна вважати достатньо обґрунтованим.