Решение. 1. В данной матрице имеются отрицательные коэффициенты

1. В данной матрице имеются отрицательные коэффициенты. Для соблюдения условия неотрицательности в задачах линейного программирования прибавим к каждому коэффициенту матрицы модуль минимального отрицательного коэффициента. В данной задаче к каждому коэффициенту матрицы необходимо прибавить число 1,5 – значение модуля наименьшего отрицательного элемента матрицы. Получим платёжную матрицу, преобразованную для выполнения условия неотрицательности (рис. 2.13)

	B1	B2	B3
A1	1,67	2,12	1,74
A2	4,5		0,7
A3	2,25		1,675

Рис.2.13. Платёжная матрица, преобразованная для выполнения условия неотрицательности

2. Опишем задачу линейного программирования для каждого игрока в виде системы линейных неравенств:

Для игрока 1: min Z = x1 + x2 + x3 1,67×x1 + 4,5×x2 + 2,25×x3 ³ 1 2,12×x1 + 0×x2 + 2×x3 ³ 1 1,74×x1 + 0,7×x2 + 1,675×x3 ³ 1 x1³ 0; x2³ 0; x3³ 0

Для игрока 2: max F = y1 + y2 + y3 1,67×y1 + 2,12×y2 + 1,74×y3 £ 1 4,5×y1 + 0×y2 + 0,7×y3 £ 1 2,25×y1 + 2×y2 + 1,675×y3 £ 1 y1³ 0; y2³ 0; y3³ 0

3. Решим обе задачи с использованием симплекс-метода, применяя встроенную функцию «Поиск решения» в MS Excel (глава 1).

В результате решения задачи получим следующие значения целевой функции и переменных:

Z = 0,5771

V* = 1/0,5771 = 1,7328

x₁ = 0,5144; x₂ = 0; x₃ = 0,0626

y₁ = 0,0582; y₂ = 0; y₃ = 0,5189

4. Для определения значений вероятностей выбора стратегий игроков 1 и 2, умножим значения переменных на V*.

p₁ = x₁×V* = 0,8914,

p₂ =0,

p₃ = x₃×V* = 0,1083;

q₁ = y1×V* = 0,1008,

q₂ = 0,

q₃ = y3×V* = 0,8991.

5. Определим значение цены игры. Для этого из величины V* вычтем 1,5 (значение модуля наименьшего отрицательного элемента).

V = 1,7328 - 1,5 = 0,2328

Таким образом, в данной игре выиграет предприятие 1 (значение V > 0). Для достижения своей оптимальной стратегии (получения максимального среднего гарантированного выигрыша) предприятие 1 должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,8914, а технологию 3 – с вероятностью 0,1083. Предприятие 2, соответственно, должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,1008, а технологию 3 – с вероятностью 0,8991. Значение математического ожидания выигрыша предприятия 1 составит 0,2328 тыс. д.е.