Пример 4.Решить игру с матрицей выигрышей

Решение. Проверим, есть ли седловая точка и мажорируемые стратегии.

Нижняя цена игры , верхняя цена игры . , следовательно, седловой точки нет. Решение ищем среди смешанных стратегий.

Мажорируемых строчек и столбцов нет.

Решение начинаем с игрока, у которого ровно две стратегии. В данном случае, со второго игрока. Для него ищем смешанную стратегию , где 0 £ q £ 1.

Строим четыре прямых, изображающих средние проигрыши второго игрока, когда первый игрок выбирает одну из четырех своих чистых стратегий: А₁А₁: = 5q + 2(1-q),

А₂А₂: = -2q + 6(1-q),

А₃А₃: = -q + 5(1-q)

А₄А₄: = 4q + 4(1-q). (рис.2.11)

Рис.2.11. Решение игры для второго игрока

Верхняя огибающая в данном случае состоит из трех кусков: А₂NMА₁. Нижних точек верхней огибающей несколько – они составляют отрезок NM. Значит, у второго игрока множество оптимальных стратегий. Найдем координаты крайних точек: N как пересечение второй и четвертой прямых; М как пересечение первой и четвертой.

N(1/4;4) .

М(2/3;4) .

В итоге, оптимальное решение второго игрока:

Для первого игрока оптимальной стратегией будет чистая четвертая А₄, т.к. все низшие точки верхней огибающей лежат на четвертой прямой, она и будет единственной активной стратегией в смешанной стратегии первого игрока, а это фактически означает чистую А₄.

Ответ: А₄; ; .