Уменьшение порядка платёжной матрицы

Порядок платёжной матрицы (количество строк и столбцов) может быть уменьшен за счёт исключения доминируемых и дублирующих стратегий.

Стратегия A_k первого игрока называется доминируемой стратегией A_r, если при любом варианте поведения второго игрока выполняется соотношение

a_kj a_rj, для всех j=1,…,n

где a_kj и a_rj - значения выигрышей первого игрока при выборе им, соответственно, стратегий A_k и A_r.

Стратегия В_k второго игрока называется доминируемой стратегией В_r, если при любом варианте поведения первого игрока выполняется соотношение

a_ik a_ir, для всех i=1,…,m

где a_ik и a_ir - значения проигрышей второго игрока, при выборе им, соответственно, стратегий A_k и A_r.

Если все неравенства выполняются строго, то говорят о строгом доминировании.

В случае, если выполняется соотношение a_kj = a_rj, для всех j=1,…,n, или a_ik = a_ir, для всех i=1,…,m, стратегии A_k и A_m или В_k и В_m, соответственно, называются дублирующими друг друга.

Например, в матрице игры

	B1	B2	B3	B4	B5	B6
A1
A2
A3
A4

стратегия A₁ является доминируемой по отношению к стратегии A₂, стратегия B₆ является доминируемой по отношению к стратегиям B₃, B₄ и B₅, а стратегии B₅ и B₄ дублируют друг друга.

Доминируемые стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платёжной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей. Так же можно удалить из матрицы игры одну из дублирующих стратегий.

Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платёжной матрицы, называется ещё множеством Парето (по имени итальянского экономиста Вильфредо Парето, занимавшегося исследованиями в данной области)

Матрица игры после уменьшения размерности:

	B1	B2	B3	B4
A2
A3
A4